Question

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a² + b² + c² = 3.

TÌm GTNN của biểu thức : \(P=2\left(a+b+c\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Answer 1

\(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow0< a;b;c< \sqrt{3}\)

Với mọi số thực \(x\in\left(0;\sqrt{3}\right)\) ta có đánh giá sau:

\(2x+\frac{1}{x}\ge\frac{x^2+5}{2}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2\left(2x^2+1\right)-x\left(x^2+5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(2-x\right)\ge0\) (luôn đúng với mọi \(x\in\left(0;\sqrt{3}\right)\))

Áp dụng: \(P=2a+\frac{1}{a}+2b+\frac{1}{b}+2c+\frac{1}{c}\ge\frac{a^2+b^2+c^2+15}{2}=9\)

\(P_{min}=9\) khi \(a=b=c=1\)