Question

Cho A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + .... + 2²⁰¹⁶

Chứng minh A chia hết cho 21

Answer 1

Ta có: \(2+2^2+2^3+...+2^{2016}\)

= \(\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2015}+2^{2016}\right)\)

= \(2.\left(1+2\right)+2^3.\left(1+2\right)+...+2^{2014}.\left(1+2\right)\)

= \(\left(2+2^3+...+2^{2014}\right)\left(1+2\right)\)

= \(\left(2+2^3+...+2^{2014}\right).3\)\(⋮3\) hay \(A⋮3\)

Tiếp theo bạn chứng minh A\(⋮7\) tương tự như trên nhưng nhóm 3 số vào một ngoặc.

Do \(A⋮3;A⋮7\Rightarrow A⋮3.7=21\) (vì 3 và 7 nguyên tố cùng nhau).

Vậy...

Chúc p hk tốt

Answer 2

Ta có

A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴+......+ 2²⁰¹⁶ (2016 số hạng)

A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + (2⁷ + 2⁸ + 2⁹ + 2¹⁰ + 2¹¹ + 2¹²) + .....+ (2²⁰¹¹ + 2²⁰¹² + 2²⁰¹³ + 2²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ + 2²⁰¹⁶)

A = 2(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) + 2⁷(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵) + ........+

2²⁰¹¹(1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵)

A = 2.63 + 2⁷.63 + ...... + 2²⁰¹¹.63

Vì 63 \(⋮\) 21

=> A \(⋮\) 21 (suy ra từ tính chất chia hết của một tổng)

=> điều phải chứng minh

Answer 3

Ta có :

A = \(2+2^2+2^3+2^4+.................+2^{2016}\)( \(2016\) Số hạng)

A = (\(2^{2016}+2^{2015}+2^{2014}+2^{2013}+2^{2012}+2^{2011}\))+.......+(\(2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2\))

(336 nhóm)

A = \(2^{2012}\)(\(2^6+2^4+2^4+2^3+2^2+2\))+.........+\(2^2\)(\(2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2\))

A = \(2^{2012}\) . 126 + ...............+ \(2^2.126\)

Mà 126 chia hết cho 21

=> A chia hết cho 21

=> đpcm