Question

Cho 5 số nguyên a, b, c, d, e. Gọi x, y, z, t, q là hoán vị của 5 số đã cho. CMR : \(\left(a-x\right)\left(b-y\right)\left(c-t\right)\left(d-z\right)\left(e-q\right)⋮2\)

Answer 1

Đặt: \(PDZ=\left(a-x\right)\left(b-y\right)\left(c-t\right)\left(d-z\right)\left(e-q\right)\)

Giải: Ta có: \(a;b;c;d;e\) và \(x;y;z;t;q\) là hoán vị của chúng.

Nếu \(a;b;c;d;e\) đồng thời là số chẵn hoặc số lẻ thì hiển nhiên \(PDZ⋮2\)

Nếu \(a;b;c;d;e\) tồn tại ở 4 số lẻ 1 số chẵn hoặc 4 số chẵn 1 số lẻ

\(\Rightarrow x;y;z;t;q\) cũng tồn tại tương ứng

Khi đó: \(PDZ=\left(l_1-c_1\right)\left(l_2-c_2\right)\left(l_3-l_4\right)\left(l_5-l_6\right)\left(l_7-l_8\right)=\left(c_1-l_1\right)\left(c_2-l_2\right)\left(c_3-c_4\right)\left(c_5-c_6\right)\left(c_7-c_8\right)\) và hoán vị

Vì \(l-l=c;c-c=c\) nên \(PDZ⋮2\)

chứng minh tương tự với trường hợp 3 lẻ 2 chẵn và 3 chẵn 2 lẻ ta có đpcm