Em nghĩ cần thêm đk a, b, c là các số thực dương
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\) thì x + y + z = 3; x > 0,y>0,z>0
BĐT \(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{5}{x}+4}+\sqrt{\frac{5}{y}+4}+\sqrt{\frac{5}{z}+4}\le3\sqrt{3\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5yz+4xyz}+\sqrt{5zx+4xyz}+\sqrt{5z+4xyz}\le3\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}\)(*)
\(VT\le\sqrt{5\left(xy+yz+zx\right)+12xyz+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(5yz+4xyz\right)\left(5zx+4xyz\right)}}\)
\(\le\sqrt{15\left(xy+yz+zx\right)+36xyz}\)(áp dụng BĐT AM-GM)
Chú ý rằng: \(xyz\le\frac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}{9}\)
Từ đó \(VT\le\sqrt{15\left(xy+yz+zx\right)+4\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}\)
\(=3\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=VP_{\text{(*)}}\)
Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Is that true?
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(3=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\geq 3\)
Và:
\(\text{VT}^2=(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4})^2\)
\(\leq (5a+4+5b+4+5c+4)(1+1+1)\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}^2\leq 15(a+b+c)+36\)
Mà $3\leq a+b+c$ (cmt)
$\Rightarrow \text{VT}^2\leq 15(a+b+c)+12(a+b+c)=27(a+b+c)$
$\Rightarrow \text{VT}\leq 3\sqrt{3(a+b+c)}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
