Ta có :
\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\) (1)
Ta lại có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Tương tự :
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(a^2+c^2\ge2ac\)
Do đó :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac\le0\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\le0\) (3)
Ta có : \(a,b\ge-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+1\ge0\\b+1\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow ab+a+b+1\ge0\)
Tương tự:
\(bc+c+b+1\ge0\)
\(ac+c+a+1\ge0\)
Do đó :
\(ab+a+b+1+bc+b+c+1+ac+a+c+1\ge0\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)+2\left(a+b+c\right)+3\ge0\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ac\right)+3\ge0\) (do \(a+b+c=0\) )
\(\Rightarrow ab+bc+ac\ge-3\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)\ge-6\) (4)
Từ (3) và (4) ta có:
\(0\ge2\left(ab+bc+ac\right)\ge-6\) (5)
Từ (1) và (5) suy ra :
\(0\le a^2+b^2+c^2\le6\)
\(\rightarrowđpcm\)
