Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nam Phạm An

Cho \(0< a\le b\le c.CMR:\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\)

Akai Haruma
22 tháng 8 2019 lúc 23:09

Lời giải:

Xét hiệu:

\(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)=\frac{ba+c^2}{ac}-\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{b^2a+c^2b}{abc}-\frac{b^2c+a^2c}{abc}\)

\(=\frac{ab^2+bc^2-b^2c-a^2c}{abc}\geq \frac{a^2b+bc^2-b^2c-a^2c}{abc}=\frac{a^2(b-c)-bc(b-c)}{abc}=\frac{(a^2-bc)(b-c)}{abc}\)

Vì $0< a\leq b\leq c\Rightarrow a^2-bc\leq 0; b-c\leq 0$

$\Rightarrow \frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\geq 0$

$\Rightarrow \frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ (đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Nam Phạm An
Xem chi tiết
Nam Phạm An
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Trần Huỳnh Tú Trinh
Xem chi tiết
Hạ Vy
Xem chi tiết
vietdat vietdat
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Ánh Dương Hoàng Vũ
Xem chi tiết