\(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{n.u_n^2+1}\Rightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{1}{u_n}+n.u_n\)
Đặt \(\dfrac{1}{u_n}=v_n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=\dfrac{1}{2022}\\v_{n+1}=v_n+\dfrac{n}{v_n}\end{matrix}\right.\)
\(v_2=v_1+2022>2\)
\(v_3=v_2+\dfrac{2}{v_2}>3\)
Ta sẽ chứng minh \(v_n\ge n\) với mọi \(n\ge2\)
Với \(n=2;3\) đúng (như đã kiểm chứng ở trên)
Giả sử điều đó đúng với \(n=k\ge2\) hay \(v_k\ge k\)
Ta cần chứng minh: \(v_{k+1}\ge k+1\)
Thật vậy, do \(v_k\ge k\), đặt \(v_k=k+\alpha\) với \(\alpha\ge0\)
Ta có: \(v_{k+1}=v_k+\dfrac{k}{v_k}=k+\alpha+\dfrac{k}{k+\alpha}=k+\dfrac{k.\alpha+\alpha^2+k}{k+\alpha}\)
\(\ge k+\dfrac{k\alpha+k}{k+\alpha}\ge k+\dfrac{k+\alpha}{k+\alpha}=k+1\) (do \(k\ge2\Rightarrow k\alpha\ge\alpha\))
Tương tự, ta quy nạp được \(v_n< v_2+n\) với \(n\ge2\)
Với \(n=2\) đúng
Giả sử đúng với \(n=k\ge2\) hay \(v_k< v_2+k\)
Cần chứng minh: \(v_{k+1}< v_2+k+1\)
Ta có: \(v_{k+1}=v_k+\dfrac{k}{v_k}< v_2+k+\dfrac{k}{v_k}\le v_2+k+\dfrac{k}{k}=v_2+k+1\)
(Do chứng minh trên \(v_n\ge n\Rightarrow\dfrac{k}{v_k}\le\dfrac{k}{k}\))
Vậy \(n\le v_n\le v_2+n\)
\(\Rightarrow1\le\dfrac{v_n}{n}\le1+\dfrac{v_2}{n}\)
\(\Rightarrow1\le\dfrac{1}{n.u_n}\le1+\dfrac{v_2}{n}\)
Do \(\lim1=\lim\left(1+\dfrac{v_2}{n}\right)=1\)
Theo định lý kẹp, dãy \(\left\{\dfrac{1}{n.u_n}\right\}\) có giới hạn và \(\lim\left\{\dfrac{1}{n.u_n}\right\}=1\)
Mọi người giúp em với em gấp lắm ạ:(((
ai biết làm câu 6 khong ạa?
