Câu 4 :
1.Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại H . Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng vuông góc với AB tại B ở D
a, CHứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
b, Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AD . Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với AH cắt BC tại K . Chứng minh K là trung điểm của BC và tính độ dài đoạn thẳng OK biết AH=6cm
2.Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD , CE cắt nhau tại I và BD.CE=2BI.CI . Tính số đo \(\widehat{BAC}\)
1.
Câu 1:
a) $CD\perp AC, BH\perp AC$ nên $CD\parallel BH$
Tương tự: $BD\parallel CH$
Tứ giác $BHCD$ có hai cặp cạnh đối song song nhau (BH-CD và BD-CH) nên là hình bình hành
b)
Áp dụng bổ đề sau: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng 1 nửa cạnh huyền.
Ta có:
$BO$ là trung tuyến của tgv $ABD$ nên $BO=\frac{AD}{2}$
$CO$ là trung tuyến của tgv $ACD$ nên $CO=\frac{AD}{2}$
$\Rightarrow BO=CO(1)$
$OK\parallel AH, AH\perp BC$ nên $OK\perp BC(2)$
Từ $(1);(2)$ ta dễ thấy $\triangle OBK=\triangle OCK$ (ch-cgv)
$\Rightarrow BK=CK$ hay $K$ là trung điểm $BC$
Mặt khác:
$HBDC$ là hình bình hành nên $HD$ cắt $BC$ tại trung điểm mỗi đường. Mà $K$ là trung điểm $BC$ nên $K$ là trung điểm $HD$
Xét tam giác $AHD$ có $O$ là t. điểm $AD$, $K$ là t. điểm $HD$ nên $OK$ là đường trung bình của tam giác $AHD$ ứng với cạnh $AH$.
$\Rightarrow OK=\frac{AH}{2}=3$ (cm)
Hai bài toán khác nhau thì bạn đặt bài toán 1 là câu 1, bài toán 2 là câu 2 cho dễ phân biệt.
Câu 2:
Gọi $AB=c; BC=a; CA=b$. Áp dụng tính chất đường phân giác thì:
$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{c}{a}$
$\Rightarrow \frac{b}{CD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AD+CD}{CD}=\frac{c+a}{a}$
$\Rightarrow CD=\frac{ab}{a+c}$
Hoàn toàn tương tự:
$BE=\frac{ca}{a+b}$
Xét tam giác $CDB$ có phân giác $CI$. Áp dụng tính chất đường phân giác:
$\frac{ID}{BI}=\frac{CD}{BC}=\frac{ab}{a(a+c)}=\frac{b}{a+c}$
$\Rightarrow \frac{BD}{BI}=\frac{a+b+c}{a+c}$
Tương tự với tam giác $BEC$ phân giác $BI$ thì: $\frac{CE}{CI}=\frac{a+b+c}{a+b}$
Thay vô điều kiện $BD.CE=2BI.CI$ thì:
$\frac{BD}{BI}.\frac{CE}{CI}=2$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{(a+c)(a+b)}=2$
$\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2$ nên theo Pitago đảo thì $ABC$ là tam giác vuông tại $A$
$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^0$
