$a)$ Thay $m=6$ vào phương trình ta được: \(x^2-5x+6=0\)
\(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.6 = 1 > 0\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\( {x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt 1 }}{{2.1}} = 3\\ {x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = \dfrac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt 1 }}{{2.1}} = 2 \)
$b)$ Ta có: \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1m = 25 - 4m\)
Để phương trình có hai nghiệm thì: \(\Delta \ge 0 \Rightarrow 25 - 4m \ge 0 \Rightarrow m \le \dfrac{{25}}{4}\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 5\\ {x_1}.{x_2} = m \end{array} \right.\)
Theo đề bài ta có:
\( \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9\\ \Leftrightarrow 25 - 4m = 9\\ \Leftrightarrow - 4m = - 16\\ \Leftrightarrow m = 4\left( {tm} \right) \)
