Câu 1: Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n\)=\(\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2+...+\left(\sqrt{2}\right)^n\),với mọi n. Tính lim\(u_n\)
Câu 2: lim \(\frac{8n+sinn}{4n+3}\)
Câu 3: lim \(\left(\frac{n^2-n}{1-2n^2}+\frac{2sinn^2}{\sqrt{n}}\right)\)
Câu 4: lim \(\frac{1+2+3+...+n}{n^2+2}\)
Câu 5: lim \(\frac{1-3n-5n^2}{cosn+n^2}\)
Câu 1.
Vì \(\sqrt{2},\left(\sqrt{2}\right)^2,...,\left(\sqrt{2}\right)^n\) lập thành cấp số nhân có \(u_1=\sqrt{2}=q\) nên
\({u_n} = \sqrt 2 .\dfrac{{1 - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}{{1 - \sqrt 2 }} = \left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n} - 1} \right] \to \lim {u_n} = + \infty \) vì \(\left\{{}\begin{matrix}a=2-\sqrt{2}>0\\q=\sqrt{2}>1\end{matrix}\right.\)
Câu 3.
Ta có biến đổi:
\(\lim \left( {\dfrac{{{n^2} - n}}{{1 - 2{n^2}}} + \dfrac{{2\sin {n^2}}}{{\sqrt n }}} \right) = \lim \dfrac{{{n^2} - n}}{{1 - 2{n^2}}} = \dfrac{1}{2}\)
Câu 4.
\(\lim \dfrac{{1 + 2 + 3 + ... + n}}{{{n^2} + 2}} = \lim \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{{2\left( {{n^2} + 2} \right)}} = \dfrac{1}{2}\)
