Giải bài cho m ta thấy cảm giác như mình đang bị troll bởi hàng tá chữ + ảnh ngược xui dọc đến nghẹo cả cổ@@
Thế mà kêu giúp đỡ nhiệt tình:V
13/ Min \(x+y^2+z^3\) với x,y,z>0 và \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=6\)
\(P=x+y^2+z^3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)-3\)
\(\ge x+2y+3z-3=\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}\right)\left(x+2y+3z\right)}{6}-3\)
\(\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{6}-3=3\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z =1
10/ (nãy tự nhiên nhắn ta giúp bài 10 mà không chịu viết lên đây)
Đặt \(\left(x^2;y^2\right)=\left(a;b\right)\) suy ra \(a,b\ge0\)
Tìm min: \(Q=\frac{1}{2}\left(\frac{a^5}{b}+\frac{b^5}{a}\right)+\frac{1}{4}\left(a^8+b^8\right)-\left(1+ab\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{a^8}{a^3b}+\frac{b^8}{ab^3}\right)+\frac{1}{4}\left(a^8+b^8\right)-\left(1.1+a.b\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2ab\left(a^2+b^2\right)}+\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{8}-\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)
\(\ge\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{8}+\frac{a^4+b^4}{2}-\left(\frac{a^4+1}{2}+1\right)\left(\frac{b^4+1}{2}+1\right)\)
\(\ge\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{8}+\frac{a^4+b^4}{2}-\frac{\left[\frac{a^4+b^4}{2}+3\right]^2}{4}\). Đặt \(\frac{a^4+b^4}{2}=t\Rightarrow t>0\)
\(Q\ge f\left(t\right)=\frac{t^2}{2}+t-\frac{\left(t+3\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\left(t-1\right)^2-\frac{5}{2}\ge-\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\Leftrightarrow x=y=\pm1\)
Tự check đi nha:P t làm gấp nên chưa có check đâu
16/ a,b,c >0. abc = 1. CMR:
\(\frac{a}{\left(ab+a+1\right)^2}+\frac{b}{\left(bc+b+1\right)^2}+\frac{c}{\left(ca+c+1\right)^2}\ge\frac{1}{a+b+c}\)
Đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\);x>0,y>0,z>0 thì cần chứng minh:
\(\Sigma\frac{xyz^2}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\ge\frac{xyz}{xy^2+yz^2+zx^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\ge1\) (chia 2 vế cho xyz rồi rút gọn)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
Bất đẳng thức này hiển nhiên theo Bunhiacopxki (hình như SOS đẹp hơn thì phải nhưng chưa thử:v)
\(xy^2z^2+x^2z+y=3z^2\)
\(\Leftrightarrow xy^2+x^2\cdot\frac{1}{z}+y\cdot\frac{1}{z^2}=3\)
Đặt \(\left(x,y,\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)
Khi đó \(ab^2+a^2c+bc^2=3\)
\(\frac{z^4}{1+z^4\left(x^4+y^4\right)}=\frac{1}{\frac{1}{z^4}+x^4+y^4}=\frac{1}{a^4+b^4+c^4}\)
\(a^4+a^4+1+c^4\ge4\sqrt[4]{a^8c^4}=4a^2c\)
Tương tự:\(b^4+b^4+a^4+1\ge4b^2a;c^4+c^4+b^4+1\ge4c^2b\)
Cộng lại:\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)+3\ge4\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)
Khi đó \(P\le\frac{1}{3}\)
Dấu "=" em bí ạ
Bài 9,12,13,18,19,20
9, 12 chụp khó nhìn quá không làm, 13 chưa nghĩ ra.
18/ \(A=8\left(x-2\right)^4+8\ge8\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 2
19/[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN VÀ HSG TỈNH}}$ NĂM HỌC 2019-2020 - Trang 12 - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học thử cách này xem, ta chưa đọc kĩ nhưng m đọc đi:P
