Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Khánh Toàn

Biết a;b;c là 3 số thực thỏa mãn điều kiện :a=b+1=c+2;c>0

Chứng minh : \(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)

tran nguyen bao quan
18 tháng 11 2018 lúc 15:25

Ta có a=b+1\(\Rightarrow a-b=1\Rightarrow a>b\left(1\right)\)

\(b+1=c+2\Rightarrow b-c=1\Rightarrow b>c>0\left(2\right)\)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow a>b>c>0\)

Ta lại có \(a-b=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=1\Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}< \dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{b}}\Leftrightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< \dfrac{1}{2\sqrt{b}}\Leftrightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}\)(3)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(b-c=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=1\Leftrightarrow\sqrt{b}-\sqrt{c}=\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}>\dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{b}}\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\sqrt{b}}< \sqrt{b}-\sqrt{c}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)(4)

Từ (3),(4)\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Hoai Bao Tran
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Vương Thiên Nhi
Xem chi tiết
Đào Thị Huyền
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
Tiểu Bảo Bảo
Xem chi tiết
Phạm Duy Phát
Xem chi tiết