Question

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh các bất đẳng thức :

a) \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với \(n\ge4\)

b) \(2^{n-3}>3n-1\) với \(n\ge8\)

Answer 1

a)
Với \(n=4\).
\(3^{n-1}=3^{4-1}=3^3=27\); \(n\left(n+2\right)=4.\left(4+2\right)=24\).
Suy ra: \(3^{n-1}>n\left(n+2\right)\) với n = 4.
Giả sử điều phải chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(3^{k+1-1}>\left(k+1\right)\left(k+1+2\right)\)\(\Leftrightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k\)\(=k^2+4k+3+2k^2+2k-3\)\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\).
Với \(k\in N^{\circledast}\) thì \(2k^2+2k-3>0\) nên \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge4\).

Answer 2

b)
Với \(n=8\)
\(2^{n-3}=2^{8-3}=2^5=32\); \(3n-1=3.8-1=23\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=8\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\left(k\ge8\right)\).
Nghĩa là: \(2^{k-3}>3k-1\).
Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là: \(2^{k+1-3}>3\left(k+1\right)-1\)\(\Leftrightarrow2^{k-2}>3k+2\).
Thật vậy \(2^{k-2}=2.2^{k-3}>2\left(3k-1\right)=6k-2\)\(=3k+2+3k-4\).
Do \(k\ge8\) nên \(k-4>0\) vì vậy \(2^{k-2}>3k+2\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi \(n\ge8\).