Violympic toán 9

Quoc Tran Anh Le

 

Bạn đã like Trang để nhận thông báo mới nhất về cuộc thi chưa?

Cuộc thi Toán Tiếng Anh VEMC | Facebook

Có câu hỏi hay? Gửi ngay chờ chi:

[Tiền sự kiện 1] Thử sức trí tuệ - Google Biểu mẫu

-------------------------------------------------------------------

[Toán.C38 _ 26.1.2021]

undefined

[Toán.C39 _ 28.1.2021]

Cho x,y,z dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\(P=\dfrac{x+y}{x+y+z}+\dfrac{y+z}{y+z+4x}+\dfrac{z+x}{z+x+16y}\).

tthnew
28 tháng 1 2021 lúc 18:38

Đây là cách của em.

Ta chứng minh bất đẳng thức sau:

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}+\dfrac{27}{16}\cdot\dfrac{\left(a-b\right)^2}{a+b+c}\)

\(\bullet\) Nếu \(c\ne \text{mid}\{a,b,c\}\) thì \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\le a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\) từ đây đưa về đối xứng và chứng minh dễ dàng.

\(\bullet\) Nếu \(c= \text{mid}\{a,b,c\}.\) Chuẩn hóa \(a+b=1\Rightarrow0\le c\le1.\) Đặt \(x=ab\Rightarrow0< x\le c\left(1-c\right)\)

Cần chứng minh

\(f(x)=108\,{x}^{2}+ \left( 16\,{c}^{3}+84\,{c}^{2}+12\,c-83 \right) x+ \left( c+1 \right) \left( 16\,{c}^{4}+8\,{c}^{3}-16\,{c}^{2}-19\,c+ 16 \right) \ge 0\)

\(f'(x)=16\,{c}^{3}+84\,{c}^{2}+12\,c+216\,x-83 \)

*Nếu $0 \le c \le \dfrac{1}{2}$ thì \(f'\left(x\right)\le\left(2c-1\right)\left(8c^2-62c+83\right)\le0\)

Khi đó $f(x)$ là hàm nghịch biến nên \(f\left(x\right)\ge f\left(c\left(1-c\right)\right)=2\left(8c^2-11c+8\right)\left(2c-1\right)^2\ge0\)

*Nếu $\dfrac{1}{2} \le c \le 1$ thì \(\Delta_x= \left( 64\,{c}^{4}-992\,{c}^{3}-1740\,{c}^{2}-788\,c-23 \right) \left( 2\,c-1 \right) ^{2}\le 0\)

ta có điều phải chứng minh

:D

Bình luận (2)
Trần Minh Hoàng
28 tháng 1 2021 lúc 19:27

Lâu rồi mới đăng bài vì mấy bài kia khó quá :vv

C39: 

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=a>0\\y+z+4x=b>0\\z+x+16y=c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{b-a}{3}\\y=\dfrac{c-a}{15}\\z=\dfrac{21a-5b-c}{15}\end{matrix}\right.\).

Khi đó áp dụng bđt AM - GM ta có:

\(P=\dfrac{5b+c-6a}{15a}+\dfrac{4a-b}{3b}+\dfrac{16a-c}{15c}=\left(\dfrac{b}{3a}+\dfrac{4a}{3b}\right)+\left(\dfrac{c}{15a}+\dfrac{16a}{15c}\right)-\left(\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}\right)\ge\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{15}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{15}\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=2a\\c=4a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z+4x=2\left(x+y+z\right)\\z+x+16y=4\left(x+y+z\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=y+z\\4y=x+z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow21x=35z=15z\).

 

Bình luận (2)

Các câu hỏi tương tự
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết
Quoc Tran Anh Le
Xem chi tiết