Bài1:Cho tam giác ABC vuông tại A.Tia phân giác của ABC cắt AC taiD . kẻ DK vuông góc với BC.
a,Chứng minh DA=DK
b,Kẻ AH vuông góc vói BC.Chướng minh tia AK là phân giác của HAC.
Bài 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A,AH vuông góc với BC.Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE=BA.Kẻ EK vuông góc với AC tại k. chứng minh AK=AH và EH=EK
Bài 1:
a)Xét 2 tam giác ABD và tam giác KBD lần lượt vuông tại A,K có:
\(\left\{{}\begin{matrix}DBchung\\\widehat{ABD}=\widehat{KBD}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta KBD\)(cạnh huyền-góc nhọn kề)
\(\Rightarrow AD=DK\left(đpcm\right)\)
b)Từ câu a) suy ra tam giác ADK cân tại D
\(\Rightarrow\widehat{DAK}=\widehat{DKA}\left(1\right)\)
Mà \(DK\perp BC;AH\perp BC\Rightarrow DK//AH\Rightarrow\widehat{DKA}=\widehat{KAH}\left(2\right)\)
Từ(1) và (2)
\(\Rightarrow\widehat{DAK}=\widehat{HAK}\) hay \(\widehat{CAK}=\widehat{HAK}\)
Suy ra AK là phân giác của \(\widehat{HAC}\)
(2 trường hợp AB<AC và AB>AC cũng giống nhau nên ở đây mk xét trường hợp AB<AC)
TA có hình vẽ:
Qua E kẻ đường đường thẳng vuông góc với AB tại D
Ta có\(ED\perp AB\)
\(AB\perp AC\)
\(\Rightarrow ED//AC\)
Mà \(KE\perp AC;AB\perp AC\Rightarrow KE//AD\)
Áp dụng tính chất đoạn chắn suy ra AK=DE,KE=AD(bạn tự chứng minh)
Xét tam giác AHB và tam giác EDB lần lượt vuông tại H,D có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB=EB\\\widehat{B}chung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AHB=\Delta EDB\)(cạnh huyền-góc nhọn kề)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH=ED\\HB=DB\end{matrix}\right.\)
Mà AB=BE
Suy ra AB-BD=BE-BH hay AD=EH
Mà KE=AD;AK=ED
Suy ra AK=AH;EH=EK(đpcm)
