à bt lm ròi
hình :
Phân tích : gọi a; b ; c là độ dài các cạnh của Δ ABC phải dựng .
ta có :
\(ah_a=bh_b=ch_e\)
chia cho \(h_ah_b\) được \(\dfrac{a}{h_b}=\dfrac{b}{h_a}=\dfrac{c}{\dfrac{h_ah_b}{h_c}}\)
Do đó 3 cạnh : a; b ; c tỉ lệ với \(h_a,h_b,\dfrac{h_ah_b}{h_c}\)
Biết \(h_a,h_b,h_c\) ta dựng được \(k=\dfrac{h_ah_b}{h_c}\) ( dựng đoạn tỉ lệ thứ tư )
Do đó ta dựng được 1 tam giác đồng dạng với tam giác phải dựng .
Cách dựng : dựng AB'C' ta có:
AB'=k,AC'=\(h_a\),B'C'=\(h_b\)
Dựng đường cao AH'
trên tia AH' đặt AH = \(h_a\)
Qua H dựng đường thẳng song song
B'C' cắt AB',AC' ở B và C ta được Δ ABC cần dựng .
chứng minh : gọi BD, CE là các đường cao của ΔABC , ta sẽ c/m rằng:
\(BD=h_b,CE=h_c\)
Tỉ số 2 đường cao bằng tỉ số nghịch đảo của 2 cạnh tương ứng nên :
\(\dfrac{AH}{BD}=\dfrac{AC}{BC}\Rightarrow\dfrac{h_a}{BD}=\dfrac{AC}{BC}\left(1\right)\)
Ta lại có :
\(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AC'}{B'C'}=\dfrac{h_a}{h_b}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra : \(\dfrac{h_a}{BD}=\dfrac{h_a}{h_b}\Rightarrow BD=h_b\)
Tương tự ta có :
\(\dfrac{AH}{CE}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow\dfrac{h_a}{CE}=\dfrac{AB}{BC}\left(3\right)\)
Ta lại có:
\(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AB'}{B'C'}=\dfrac{h_ah_b:h_c}{h_b}=\dfrac{h_a}{h_c}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\dfrac{h_a}{CE}=\dfrac{h_a}{h_c}\Rightarrow CE=h_c\)
