Question

Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)

Answer 1

\(A=1.2+2.3+..............+n\left(n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow3A=1.2.3+2.3.3+..........+n\left(n+1\right)3\)

\(\Leftrightarrow3A=1.2\left(3-0\right)+2.3\left(4-1\right)+.........+n\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)-\left(n-1\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow3A=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+.........+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

\(\Leftrightarrow3A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

Answer 2

Lời giải:

Cách 1:

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:

Gọi a₁ = 1.2 → 3a₁ = 1.2.3 → 3a₁ = 1.2.3 - 0.1.2
a₂ = 2.3 → 3a₂ = 2.3.3 → 3a₂ = 2.3.4 - 1.2.3
a₃ = 3.4 → 3a₃ = 3.3.4 → 3a₃ = 3.4.5 - 2.3.4
…………………..
a_n-1 = (n - 1)n → 3a_n-1 =3(n - 1)n → 3a_n-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
a_n = n(n + 1) → 3a_n = 3n(n + 1) → 3a_n = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

Cách 2: Ta có

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)

* Tổng quát hoá ta có:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …

Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:

k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)

Mình làm thế này có đúng không ạ !