Question

Bài 1: tìm 2 stn biếi rằng tổng của chúng bằng 30 và BCNN của chúng gấp 6 lần ƯCLN

Bài2: tìm 2 stn biết rằng a+2b=48 và ƯCLN (a, b) cộng 3 lần BCNN (a, b)=114

Bài 3 :tìm stn nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia nó cho 11; cho 13 được số dư lần lượt là 5, 8

Answer 1

Bài 1:

Gọi hai số cần tìm là $a,b$

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của hai số trên.

Khi đó, đặt \(\left\{\begin{matrix} a=dm\\ b=dn\end{matrix}\right.\) với (m,n) nguyên tố cùng nhau.

\(\Rightarrow BCLN (a,b)=dmn\)

Vì \(BCLN (a,b)=6UCLN (a,b)\Rightarrow dmn=6d\)

\(\Leftrightarrow mn=6\)

Giả sử m>n. Khi đó: \((m,n)=(6, 1)\) hoặc \((m,n)=(3,2)\)

Mặt khác: \(a+b=30\Leftrightarrow dm+dn=30\Leftrightarrow d(m+n)=30\)

+) Nếu \((m,n)=(6,1)\Rightarrow d.7=30\Rightarrow d=\frac{30}{7}\not\in\mathbb{N}\) (loại)

+) Nếu \((m,n)=(3,2)\Rightarrow d.5=30\Rightarrow d=6\)

\(\Rightarrow a=18; b=12\)

Vậy hai số cần tìm là 18 và 12

Answer 2

Lời giải:

Gọi ƯCLN (a,b) là $d$ \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=dm\\ b=dn\end{matrix}\right.\) với \((m,n)\) nguyên tố cùng nhau.

Khi đó: BCLN (a,b) là: \(dmn\)

Theo bài ra ta có:

\(\left\{\begin{matrix} dm+2dn=48\\ d+3dmn=114\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d(m+2n)=48(1)\\ d(1+3mn)=114(2)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) : \(d(3mn+1)=114=2.3.19\) (*)

Nếu \(d\not\vdots 3\), kết hợp \(3mn+1\not\vdots 3\Rightarrow d(3mn+1)\not\vdots 3\Leftrightarrow 114\not\vdots 3\) (vô lý)

Do đó $d$ chia hết cho $3$ (**)

Mặt khác: Từ (1) suy ra (d) là ước của $48$ (***)

Từ (*); (**); (***) suy ra $d=3$ hoặc $d=6$

+) Nếu $d=3$, thay vào (2) suy ra \(3mn+1=38\rightarrow 3mn=37\not\vdots 3\) (vô lý)

+) Nếu \(d=6\Rightarrow \left\{\begin{matrix} m+2n=8\\ 3mn+1=19\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m+2n=8\\ mn=6\end{matrix}\right.\) suy ra $m$ chẵn.

Từ đây dễ dàng thấy (m,n)=(6;1) hoặc (2;3)

Kéo theo \((a,b)=(36,6);(12;18)\)

Answer 3

Lời giải:

Gọi số tự nhiên đó là A

Vì số tự nhiên đó chia cho $11; 13$ có dư lần lượt là $5;8$ nên:

\(A=11a+5=13b+8\)

\(\Leftrightarrow 13b+3=11a\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow 11b+2b+3\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow 2b+3\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow 2b+3-11\vdots 11\Leftrightarrow 2(b-4)\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow b-4\vdots 11\) (1)

Để $A$ nhỏ nhất thì $b$ phải nhỏ nhất. $A$ là số có 3 chữ số nên \(A\geq 100\Leftrightarrow 13b+8\geq 100\Leftrightarrow b\geq 8\) (2)

Từ (1),(2) kết hợp với điều kiện $b$ nhỏ nhất suy ra $b=15$

Do đó: \(A=13.15+8=203\)