Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A . Gọi M , N,D lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC
a. Tứ giác MNBD là hình gì
b. Gọi E là điểm đối xứng với D qua N. Cm tứ giác ADCE là HCN
c. Để ADCE là hình vuông thì tam giác ABC cần thêm điều kiện gì?
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có B=60°, BC= 2AB. Gọi M,N lần lượt làtrung điểm của AD và BC
a. Cm: Tứ giác AMNB và MNCD là hình thoi
b. Tứ giác ANCD là hình gì
c. Gọi E là giao điểm của AN và BM, F là giao điểm của ND và MC . Tứ giác ENFM là hình gì
d. Để tứ giác ENFM là hình vuông thì hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì
( mong mọi người giúp ạ. Cảm ơn trước♡)
Bài 1:
a) Xét ΔABC có
M là trung điểm của AB(gt)
N là trung điểm của AC(gt)
Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒MN//BC và \(MN=\frac{BC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: \(MN=\frac{BC}{2}\)(cmt)
mà \(BD=DC=\frac{BC}{2}\)(do D là trung điểm của BC)
nên MN=BD=DC
Xét tứ giác MNDB có MN//BD(MN//BC,D∈BC) và MN=BD(cmt)
nên MNDB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Ta có: AD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(do D là trung điểm của BC)
⇒AD cũng là đường cao ứng với cạnh đáy BC của ΔABC cân tại A(định lí tam giác cân)
\(\Rightarrow\widehat{ADC}=90độ\)
Xét tứ giác ADCE có
N là trung điểm của đường chéo AC(gt)
N là trung điểm của đường chéo DE(do D và E đối xứng với nhau qua N)
Do đó: ADCE là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Hình bình hành ADCE có \(\widehat{ADC}=90độ\)(cmt)
nên ADCE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
c) Để hình chữ nhật ADCE là hình vuông thì AD=DC
mà \(BD=DC=\frac{BC}{2}\)
nên \(AD=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔABC có
AD là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(do D là trung điểm của DC)
\(AD=\frac{BC}{2}\)(cmt)
Do đó: ΔABC vuông tại A(định lí 2 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
mà ΔABC cân tại A(gt)
nên ΔABC vuông cân tại A
⇒\(\widehat{BAC}=90độ\)
Vậy: Khi ΔABC cân tại A có thêm điều kiện \(\widehat{BAC}=90độ\) thì tứ giác ADCE là hình vuông
Bài 2:
a) Ta có: BC=AD(BC và AD là hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)
và \(AM=MD=\frac{AD}{2}\)(do M là trung điểm của AD)
nên BN=NC=AM=MD
Xét tứ giác AMNB có BN//AM(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và BN=AM(cmt)
nên AMNB là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: \(AB=\frac{BC}{2}\)(gt)
mà \(BN=NC=\frac{BC}{2}\)(do N là trung điểm của BC)
nên AB=BN=NC
Hình bình hành AMNB có AB=BN(cmt)
nên AMNB là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Xét tứ giác NCDM có NC//MD(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và NC=MD(cmt)
nên NCDM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: AB=CD(do AB và CD là hai cạnh đối trong hình bình hành ABCD)
mà AB=NC(cmt)
nên CD=NC
Hình bình hành NCDM có CD=NC(cmt)
nên NCDM là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
b) Xét tứ giác ANCD có NC//AD(do BC//AD,N∈BC)
nên ANCD là hình thang(định nghĩa hình thang)
c)
Xét tứ giác ANCM có NC//AM(do BC//AD,N∈BC,M∈AD) và NC=AM(cmt)
nên ANCM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
⇒AN=MC và AN//MC(AN và MC là hai cạnh đối trong hình bình hành ANCM)
Ta có: E là giao điểm của hai đường chéo BM và AN trong hình thoi ABNM(do \(AN\cap BM=\left\{E\right\}\))
nên E là trung điểm của AN(định lí hình thoi)
\(\Rightarrow EN=AE=\frac{AN}{2}\)
Ta có: F là giao điểm của hai đường chéo ND và CM trong hình thoi NCDM(do \(DN\cap CM=\left\{F\right\}\))
nên F là trung điểm của CM(định lí hình thoi)
\(\Rightarrow MF=FC=\frac{MC}{2}\)
Ta có: AN=MC(cmt)
mà \(EN=\frac{AN}{2}\)(cmt)
và \(MF=\frac{MC}{2}\)(cmt)
nên EN=MF
Xét tứ giác ENFM có EN//MF(do AN//MC, E∈AN,F∈CM) và EN=MF(cmt)
nên ENFM là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: BM⊥AN(do BM và AN là hai đường chéo trong hình thoi ABNM)
⇒\(\widehat{NEM}=90độ\)
Hình bình hành ENFM có \(\widehat{NEM}=90độ\)(cmt)
nên ENFM là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
d) Để hình chữ nhật ENFM là hình vuông thì EN=EM(1)
Ta có: E là giao điểm của hai đường chéo BM và AN trong hình thoi ABNM(do \(AN\cap BM=\left\{E\right\}\))
nên E là trung điểm của BM(định lí hình thoi)
\(\Rightarrow BE=EM=\frac{BM}{2}\)(2)
Ta có: \(EN=AE=\frac{AN}{2}\)(cmt)(3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra \(\frac{BM}{2}=\frac{AN}{2}\)
hay BM=AN
Hình thoi BNMA có hai đường chéo BM và AN bằng nhau(cmt)
nên BNMA là hình vuông(dấu hiệu nhận biết hình vuông)
\(\Rightarrow\widehat{ABN}=90độ\)
hay \(\widehat{ABC}=90độ\)(do C∈BN)
Vậy: Khi hình bình hành ABCD có thêm điều kiện là \(\widehat{ABC}=90độ\) thì tứ giác ENFM là hình vuông
