Question

Bài 1:

a) Chứng minh rằng số chính phương lẻ thì chia 8 dư 1

b) Chứng tỏ rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương lẻ thì n chia hết cho 40 ( n thuộc N^*)

Answer 1

a) Ta có: Gọi số chính phương lẻ đó là a²(a² lẻ)

Ta có: a²:8(dư 1)

=> a²-1 chia hết cho 8

Ta có:

a²lẻ thì a²-1 sẽ là 1 số chẵn(1)

a²-1 chia hết cho 8=> a²-1 chia hết cho 2³ => a²-1 chia hết cho 2

Vì a²-1 chẵn nên chia hết cho 2

Vì a²-1 chia hết cho 2 nên chia hết cho 8

=>a²chia 8 dư 1(đpcm)

Answer 2

a) Nếu n là số chính phương lẻ thì n = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1

Ta thấy ngay k(k + 1) chia hết cho 2, vậy thì 4k(k + 1) chia hết cho 8.

Vậy n chia 8 dư 1.

b)

a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để:
2a + 1 = n^2 (1)
3a +1 = m^2 (2)
từ (1) => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được:
2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1
=> a = 2k(k+1)
vậy a chẵn .
a chẳn => (3a +1) là số lẻ và từ (2) => m lẻ, đặt m = 2p + 1
(1) + (2) được:
5a + 2 = 4k(k+1) + 1 + 4p(p+1) + 1
=> 5a = 4k(k+1) + 4p(p+1)
mà 4k(k+1) và 4p(p+1) đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8

ta cần chứng minh a chia hết cho 5:
chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9
xét các trường hợp:
a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý)

a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý)
(vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7)

a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý)

a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý)

=> a chia hết cho 5

5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40
hay : a là bội số của 40