Bài 1:
a. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài của tam giác ABC dựng các tam giác vuông cân ABE và ACF đỉnh A. Chứng minh rằng trung tuyến AI của tam giác ABC vuông góc với EF và AI = 1/2 EF.
b. Cho đường tròn (O) có dây cung AB không qua tâm. C là một điểm bất kì trên cung nhỏ AB, đường thẳng BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở D, tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại M. Gọi I là trung điểm AM. Chứng minh OI song song với phân giác trong của góc ADB.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm D, E,F sao cho D không trùng với A, B và góc EDF= 60 độ.
a. CMR: AF.BE=AD.BD
b. CM AF.BE < hoặc = a^2/4. Điểm D ở vị trí nào thì dấu đẳng thức xảy ra?
Bài 3: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là trung điểm của OB, O' là tâm đường tròn đường kính AC. Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) tại D (D # A) và cắt đường tròn (O') tại K (K # A). BK cắt CD tại H.
a. Tính tỉ số HC/CD
b. Khi d quay quanh A, điểm H chạy trên đường nào?
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn AO, C khác A và O. Đường thẳng đi qua C vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) tại D. M là điểm bất kì trên cung BD (M khác B và D). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
a. CM bốn điểm B,C,F,M cùng nằm trên một đường tròn.
b. Chứng minh EM = EF
c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMF. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Một đường thẳng dthay đổi đi qua A, cắt (O) tại điểm thứ hai là E, cắt hai tiếp tuyến kẻ từ B và C của đường tròn (O) lần lượt tại M và N sao cho A,M,N nằm ở cùng một nửa mặt phẳn bờ BC. Gọi giao điểm của hai đường thẳng MC và BN là F. CMR:
a, Hai tam giác MBA và CAN đồng dạng và tích M.CN không đổi.
b. Tứ giác BMEF nội tiếp trong một đường tròn
c. Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi (d) thay đổi.
Bài 6: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, góc A =45 độ. Vẽ các đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a, CM tứ giác AEHD nội tiếp
b. CM HD=DC
c. Tính tỉ số DE/BC
d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh AO vuông góc DE.
Bài 7: Cho đường tròn (T) tâm O, đường kính AO, vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy một điểm M di động trên đường tròn (T), gọi C là một điểm cố định trên đoạn OA, đường thẳng đi qua điểm M vuông góc với CM tại M cắt Ax, By lần lượt tại E,F.
a. CM tam giác ECF vuông tại C
b. Xác định điểm M trên đường tròn (T) để tứ giác AEFB có diện tích nhỏ nhất.
Bài 8:
1. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn tâm (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với B,C là các tiếp điểm. Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN=20N. Đường trung trực của đoạn thẳng CN cắt OA tại M. Tính tỉ số AM/AO.
2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy E và F lần lượt là hai điểm trên hai cạnh BC, CD (E,F không trùng với các đỉnh) sao cho góc EAF= 45 độ. Gọi M,N lần lượt là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Gọi H là giao điểm của MF và NE.
a. Chứng minh AH vuông góc EF
b. Đặ BE=x, DF=y. Chứng minh a(x+y) +xy = a^2. Hãy xác định dộ dài nhỏ nhất của EF
dựng hình hành AEKF tâm J, có gócAFK + gócFAE = 180o
mặt khác 4 góc A có tổng 360o trừ ra 2 góc vuông, còn lại ta có:
gócBAC + gócFAE = 180o
từ 2 điều trên => gócAFK = gócBAC (cùng bù với góc FAE)
mặt khác: FK = AE = AB và FA = AC
=> tgiác FKA = tgiác ABC (c-g-c) (1)
KA cắt BC tại H, từ (1) => gócFAK = gócACB
gócFAK + gócFAC + gócCAH = 180o
=> gócACB + 90o + gócCAH = 180o
=> gócACB + gócCAH = 90o => gócAHC = 90o => AH_|_BC
và do hình bình hành nên KA qua trung điểm J của EF
tức đường cao AH của tgiác ABC đi qua trung điểm J của EF (đpcm)
trường hợp trung tuyến AI vuông góc với EF là đổi vai trò của tgiác ABC và tgiác AEF, nên cm hoan toàn tương tự
