Gọi các giá trị dấu hiệu là x1, x2 , x3 ,……, xk và tần số tương ứng là n1 , n2 , n3 , ……, nk.
Ta có: \(\overline{X}=\frac{x_1.n_1+x_2.n_2+...+x_k.n_k}{N}\) trong đó N = n1 + n2 + n3 ,-+ ……+ nk.
Gọi a là giá trị của số cộng với các giá trị của dấu hiệu , ta có :
\(x_{1'}=x_1+a \)
\(x_{2'}=x_2+a\)
......................
\(x_{k'}=x_k+a\)
Ta có :
\(\overline{X'}=\frac{x_{1'}.n_1+x_{2'}.n_2+...+x_{k'}.n_k}{N}\)
\(\overline{X'}=\frac{\left(x_1+a\right)n_1.\left(x_2+a\right)n_2+...+\left(x_k+a\right)n_k}{N}\)
\(\overline{X'}=\frac{x_1.n_1+a.n_1+x_2.n_2+a.n_2+...+x_k.n_k+a.n_k}{N}\)
\(\overline{X'}=\frac{\left(x_1.n_1+x_2.n_2+...+x_k.n_k\right)+\left(a.n_1+a.n_2+...+a.n_k\right)}{N}\)
\(\overline{X'}=\frac{x_1.n_1+x_2.n_2+...+x_k.n_k}{N}+\frac{a.n_1+a.n_2+...+a.n_k}{N}\)
\(\overline{X'}=\frac{x_1.n_1+x_2.n_2+...+x_k.n_k}{N}+\frac{a\left(n_1+n_2+...+n_k\right)}{N}\)
\(\overline{X'}=\overline{X}+a\)
Vậy nếu cộng các giá trị của dấu hiệu với cùng một số thì số trung bình cộng của dấu hiệu cũng được cộng với số đó
Giả sử giá trị của dấu hiệu là x, tần số của giá trị là n, số cộng thêm là a.
Ta có: Số trung bình cộng ban đầu là:
X¯¯¯¯=x1.n1+x2.n2+...+xk.nkNX¯=x1.n1+x2.n2+...+xk.nkN
Số trung bình cộng sau khi cộng thêm a là:
X′¯¯¯¯¯¯=(x1+a).n1+(x2+a).n2+...+(xk+a).nkNX′¯=(x1+a).n1+(x2+a).n2+...+(xk+a).nkN
X′¯¯¯¯¯¯=(x1.n1+x2.n2+...+xk.nk)+a.(n1+n2+...+nkNX′¯=(x1.n1+x2.n2+...+xk.nk)+a.(n1+n2+...+nkN
=(x1.n1+x2.n2+...+xk.nk)N+a.NN=(x1.n1+x2.n2+...+xk.nk)N+a.NN
(vì tổng các tần số n1+n2+...+nk=Nn1+n2+...+nk=N)
Nên X′¯¯¯¯¯¯=X¯¯¯¯+aX′¯=X¯+a
Vậy số trung bình cộng cũng được cộng thêm với số đó. (đpcm)
giúp mik nha 
