Question

a) CMR với mọi số thực x,y > 0 ta có \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

b) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. CMR:

\(\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le\frac{1}{2}\)

Answer 1

a/ \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)

b/Đặt biểu thức vế trái là Q

\(\frac{1}{a+b+1+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}\right)+\frac{1}{12}\)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(Q\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\right)+\frac{1}{4}\)

Xét \(P=\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\)

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\Rightarrow xyz=1\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+1}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+1}\)

\(P\le\frac{xyz}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{xyz}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{xyz}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(P\le\frac{z}{x+y+z}+\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}=1\)

\(\Rightarrow Q\le\frac{1}{4}.1+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)