a) Ta có:
\(2bd=c\left(b+d\right)\) Mà \(a+c=2b\)
\(\Rightarrow d\left(a+c\right)=c\left(b+d\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a+c-c}{b+d-d}=\dfrac{a}{b}\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) (Đpcm)
b) Giải:
Giả sử số có 3 chữ số đó là \(\overline{aaa}=111a\left(a\ne0\right)\)
Gọi số số hạng của tổng là \(n\) ta có:
\(\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=111a=3.37.a\) Hay \(n\left(n+1\right)=2.3.37.a\)
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮37\)
Mà \(37\) là số nguyên tố và \(n+1< 74\) (Nếu \(n=74\) thì không thỏa mãn)
Do đó: \(\left[{}\begin{matrix}n=37\\n+1=37\end{matrix}\right.\)
Nếu \(n=37\Rightarrow n+1=38\Rightarrow\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=703\) (không thỏa mãn)
Nếu \(n+1=37\Rightarrow n=36\Rightarrow\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}=666\) (thỏa mãn)
Vậy số số hạng của tổng là \(36\)
