Question

a, cho a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau.CMR:\(\sqrt{\dfrac{1}{\left(a-b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b-c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(a-c\right)^2}}\)

là 1 số hữu tỉ

Answer 1

Lời giải:
\(\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}=(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2-2(\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(a-b)(c-a)})\)

\(=(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2-2.\frac{c-a+a-b+b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}=(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}=|\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}|\) là số hữu tỷ (đpcm)