(3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với (O) tại A lấy một điểm K cố định. Một đường thẳng d thay đổi đi qua K và không đi qua tâm O cắt (O) tại điểm B và C (B nằm giữa C và K), Gọi M là trung điểm của BC.
1) Chứng minh bốn điểm A, O, M, K cùng thuộc một đường tròn.
2) Vẽ đường kính AN của đường tròn (O). Đường thẳng qua A và vuông góc với BC cắt MN tại H. Chứng minh tứ giác BHCN là hình bình hành.
3) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC
4) Khi đường thẳng d thay đổi và thỏa mãn điều kiện của đề bài, điểm H di động trên đường nào
Giúp mình với ạ!
2/
Áp dụng tính chất đường kính đi qua trung điểm dây cung ta được \(OM\perp BC\)
Vì \(AH\perp BC\left(gt\right)\)
Nên \(AH\)//\(OM\)
Xét \(\Delta AHN\) có \(OA=ON\) và \(AH\)//\(OM\)
Suy ra \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta AHN\)
nên \(MN=MH\)
Xét tứ giác \(BHCN\) có \(\left\{{}\begin{matrix}MB=MC\left(gt\right)\\MN=MH\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\) suy ra tứ giác \(BHCN\) là hình bình hành (đpcm)
3/
Xét \(\Delta BAN\) vuông tại \(B\) (cạnh huyền là đường kính)
hay \(BN\perp AB\) (1)
Mà \(CH\)//\(BN\) (2 cạnh đối hình bình hành) (2)
Từ (1) (2) suy ra \(CH\perp AB\)
Mà \(AH\perp BC\left(gt\right)\)
Do vậy H là trực tâm \(\Delta ABC\) (đpcm)
Câu 1 thì bạn áp dụng tính chất đường kính đi qa trung điểm dây cung suy ra \(\Delta OKM\) vuông tại M. Gọi O' là trung điểm OK rồi xết từng tam giác vuông có trung tuyến ứng với cạnh huyền. Từ đó ta được \(O'O=O'A=O'M=O'K=\dfrac{1}{2}OK\). Hay cả 4 điểm A,O,M,K cùng thuộc đường tròn (O')
