Question

1. Tìm đa thức P(x) bậc 3 biết P(x) chia hết cho \(x-1\) và \(x-2\) và khi chia \(x^2-x+1\) thì dư \(2x-3\)

2. Chứng minh rằng đa thức \(P\left(x\right)=x^{100}+x^2+1\) chia hết cho đa thức \(Q\left(x\right)=x^2-x+1\)

Xin chân thành cảm ơn!

Answer 1

Câu 1:

Do P(x) bậc 3 và \(x^2-x+1\) bậc 2 nên đa thức thương có bậc 1, gọi đa thức thương có dạng \(ax+b\)

Do \(P\left(x\right)\) chia hết \(x-1\) và \(x-2\) nên \(P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\)

Do \(P\left(x\right)\) chia \(x^2-x+1\) dư \(2x-3\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(ax+b\right).\left(x^2-x+1\right)+2x-3\)

Thay \(x=1\) ta được:

\(P\left(1\right)=\left(a+b\right)\left(1-1+1\right)+2-3=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=1\)

Thay \(x=2\) ta được:

\(P\left(2\right)=\left(2a+b\right)\left(4-2+1\right)+4-3=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(2a+b\right)=-1\Leftrightarrow6a+3b=-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\6a+3b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{4}{3}\\b=-\frac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}\right)\left(x^2-x+1\right)+2x-3\)

Bạn có thể nhân phá ra và rút gọn

Answer 2

Câu 2:

Ta có:

\(P\left(x\right)=x^{100}+x^2+1\)

\(=x^{100}-x^{99}+x^{98}+x^{99}-x^{98}+x^{97}+...+x^3-x^2+x^2+x^2-x+1\)

\(=x^{98}\left(x^2-x+1\right)+x^{97}\left(x^2-x+1\right)+...+\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\left(x^{98}+x^{97}+...+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

\(=Q\left(x\right).\left(x^{98}+x^{97}+...+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\)