Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Vladislav Hoàng

1. Tìm đa thức P(x) bậc 3 biết P(x) chia hết cho \(x-1\)\(x-2\) và khi chia \(x^2-x+1\) thì dư \(2x-3\)

2. Chứng minh rằng đa thức \(P\left(x\right)=x^{100}+x^2+1\) chia hết cho đa thức \(Q\left(x\right)=x^2-x+1\)

Xin chân thành cảm ơn!

Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 4 2020 lúc 0:27

Câu 1:

Do P(x) bậc 3 và \(x^2-x+1\) bậc 2 nên đa thức thương có bậc 1, gọi đa thức thương có dạng \(ax+b\)

Do \(P\left(x\right)\) chia hết \(x-1\)\(x-2\) nên \(P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\)

Do \(P\left(x\right)\) chia \(x^2-x+1\)\(2x-3\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(ax+b\right).\left(x^2-x+1\right)+2x-3\)

Thay \(x=1\) ta được:

\(P\left(1\right)=\left(a+b\right)\left(1-1+1\right)+2-3=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=1\)

Thay \(x=2\) ta được:

\(P\left(2\right)=\left(2a+b\right)\left(4-2+1\right)+4-3=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(2a+b\right)=-1\Leftrightarrow6a+3b=-1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\6a+3b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{4}{3}\\b=-\frac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}\right)\left(x^2-x+1\right)+2x-3\)

Bạn có thể nhân phá ra và rút gọn

Nguyễn Việt Lâm
11 tháng 4 2020 lúc 0:31

Câu 2:

Ta có:

\(P\left(x\right)=x^{100}+x^2+1\)

\(=x^{100}-x^{99}+x^{98}+x^{99}-x^{98}+x^{97}+...+x^3-x^2+x^2+x^2-x+1\)

\(=x^{98}\left(x^2-x+1\right)+x^{97}\left(x^2-x+1\right)+...+\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\left(x^{98}+x^{97}+...+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

\(=Q\left(x\right).\left(x^{98}+x^{97}+...+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\)


Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
AhJin
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Chi Phương
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
bababa ânnnanana
Xem chi tiết
Qynh Nqa
Xem chi tiết