Câu 1:
Do P(x) bậc 3 và \(x^2-x+1\) bậc 2 nên đa thức thương có bậc 1, gọi đa thức thương có dạng \(ax+b\)
Do \(P\left(x\right)\) chia hết \(x-1\) và \(x-2\) nên \(P\left(1\right)=P\left(2\right)=0\)
Do \(P\left(x\right)\) chia \(x^2-x+1\) dư \(2x-3\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(ax+b\right).\left(x^2-x+1\right)+2x-3\)
Thay \(x=1\) ta được:
\(P\left(1\right)=\left(a+b\right)\left(1-1+1\right)+2-3=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=1\)
Thay \(x=2\) ta được:
\(P\left(2\right)=\left(2a+b\right)\left(4-2+1\right)+4-3=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(2a+b\right)=-1\Leftrightarrow6a+3b=-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\6a+3b=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{4}{3}\\b=-\frac{7}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}\right)\left(x^2-x+1\right)+2x-3\)
Bạn có thể nhân phá ra và rút gọn
Câu 2:
Ta có:
\(P\left(x\right)=x^{100}+x^2+1\)
\(=x^{100}-x^{99}+x^{98}+x^{99}-x^{98}+x^{97}+...+x^3-x^2+x^2+x^2-x+1\)
\(=x^{98}\left(x^2-x+1\right)+x^{97}\left(x^2-x+1\right)+...+\left(x^2-x+1\right)\)
\(=\left(x^{98}+x^{97}+...+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)
\(=Q\left(x\right).\left(x^{98}+x^{97}+...+x+1\right)\)
\(\Rightarrow P\left(x\right)⋮Q\left(x\right)\)