Question

1. CMR:

a) D = \(6+6^2+6^3+......+6^{99}+6^{100}\) chia hết cho 7

b) E = \(3^{n+3}+2^{n+3^{ }}+3^{n+1}+2^{n+2}\) chia hết cho 6
 

Answer 1

Ta có : Số số hạng của dãy số D chính là khoảng cách từ 1-->100 , mỗi số cách nhau 1 đơn vị .

=> Số số hạng của dãy số D là : \(\frac{100-1}{1}+1=100\) ( số hạng )

Vậy ta có số nhóm là : 100 : 2 = 50 ( nhóm )

\(D=\left(6+6^2\right)+\left(6^3+6^4\right)+...+\left(6^{99}+6^{100}\right)\)

\(D=\left(6+6^2\right)+6^2\left(6+6^2\right)+...+6^{98}\left(6+6^2\right)\)

\(D=1.42+6^2.42+...+6^{98}.42\)

\(D=\left(1+6^2+...+6^{98}\right).42\)

Vì : 42 = 6 . 7 . Mà : \(1+6^2+...+6^{98}\in N\) \(\Rightarrow D⋮7\)

Vậy : \(D⋮7\)

b, \(E=3^{n+3}+2^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+2}\)

\(E=3^n.3^3+2^n.2^3+3^n.3+2^n.2^2\)

\(E=3^n.3^3+3^n.3+2^n.2^3+2^n.2^2\)

\(E=3^n\left(3^3+3\right)+2^n\left(2^3+2^2\right)\)

\(E=3^n.30+2^n.12\)

\(E=3^n.5.6+2^n.2.6\)

\(E=\left(3^n.5+2^n.2\right).6\)

Mà : \(3^n.5+2^n.2\in N\Rightarrow E⋮6\)

Vậy : \(E⋮6\)

Answer 2

a)D=6+6²+6³+...+6⁹⁹+6¹⁰⁰

D=(6+6²)+(6³+6⁴)+...+(6⁹⁹+6¹⁰⁰)

D=42.1+6^2..42+...+6⁹⁸.42

D=42.(1+6²+...+6⁹⁸)\(⋮\)7

\(\Rightarrow\)D\(⋮\)7

 

Answer 3

\(6D=6^2+6^3+...+6^{101}\)

\(\Rightarrow5D=6D-D=6^{101}-6=6\left(6^{100}-1\right)\)

Ta chứng minh được \(6^{100}-1\) chia hết cho 7

Cụ thể là 6 đồng dư với \(-1\left(mod7\right)\Rightarrow6^{100}\) đồng dư với \(\left(-1\right)^{100}=1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow6^{100}-1\) chia hết cho 7
Vậy \(5D\) chia hết cho 7 mà \(UCLN\left(5;7\right)=1\) suy ra D chia hết 7

Answer 4

\(E=3^n\left(3^3+3\right)+2^{n+1}\left(2^2+2\right)\\ =3^n.30+6.2^{n+1}⋮6\)