1. Cho tam giác ABC vuông tại A,đường phân giác BE.Vẽ EH vuông góc với BC tại H. Biết AC=12cm, BC=13cm.
a. CM tam giác ABE= tam giác HBE
b. Tính AB,HC
c. So sánh BE,CE
d. Gội K là giao điểm của AB và HE.CM BE là đường trung trực của AH và KC.
2. Cho tam giác ACD vuông tại C có CD=3cm, AD=5cm.AE là tia phân giác của góc A(E thuộc CD), gọi H là hình chiếu của E trên AD.
a. Tính độ dài CA
b. CM CE=EH
c. CM AE là đường trung trực CH
Bài 1:
a) Xét ΔABE vuông tại A và ΔHBE vuông tại H có
BE chung
\(\widehat{ABE}=\widehat{HBE}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), H∈BC)
Do đó: ΔABE=ΔHBE(cạnh huyền-góc nhọn)
b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
\(\Leftrightarrow AB^2=BC^2-AC^2\)
\(\Leftrightarrow AB^2=13^2-12^2=25\)
hay \(AB=\sqrt{25}=5cm\)
Ta có: ΔABE=ΔHBE(cmt)
⇒AB=HB(hai cạnh tương ứng)
mà AB=5cm(cmt)
nên HB=5cm
Ta có: HB+HC=BC(H nằm giữa B và C)
hay HC=BC-HB=13-5=8cm
Vậy: AB=5cm; HC=8cm
c) Áp dụng định lí Pytago vào ΔHBE vuông tại H, ta được:
\(BE^2=HE^2+BH^2\)
hay \(BE^2=HE^2+5^2=HE^2+25\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔEHC vuông tại H, ta được:
\(CE^2=HE^2+HC^2\)
hay \(CE^2=HE^2+8^2=HE^2+64\)
Ta có: \(HE^2+25< HE^2+64\)
nên \(BE^2< CE^2\)
hay BE<CE
d) Ta có: BA=BH(cmt)
nên B nằm trên đường trung trực của AH(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: ΔABE=ΔHBE(cmt)
⇒EA=EH(hai cạnh tương ứng)
nên E nằm trên đường trung trực của AH(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra BE là đường trung trực của AH(đpcm1)
Xét ΔKAE vuông tại A và ΔCHE vuông tại H có
EA=EH(cmt)
\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔKAE=ΔCHE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒AK=HC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: KA+BA=KB(A nằm giữa K và B)
CH+BH=CB(H nằm giữa C và B)
mà KA=CH(cmt)
và BA=BH(cmt)
nên KB=CB
hay B nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: ΔKAE=ΔCHE(cmt)
⇒EK=EC(hai cạnh tương ứng)
hay E nằm trên đường trung trực của CK(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Từ (3) và (4) suy ra BE là đường trung trực của CK(đpcm2)
Bài 2:
a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔACD vuông tại C, ta được:
\(AD^2=CD^2+CA^2\)
\(\Leftrightarrow CA^2=AD^2-CD^2\)
\(\Leftrightarrow CA^2=5^2-3^2=16\)
hay \(CA=\sqrt{16}=4cm\)
Vậy: CA=4cm
b) Xét ΔCAE vuông tại C và ΔHAE vuông tại H có
AE chung
\(\widehat{CAE}=\widehat{HAE}\)(AE là tia phân giác của \(\widehat{CAD}\), H∈AD)
Do đó: ΔCAE=ΔHAE(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒CE=EH(hai cạnh tương ứng)
c) Ta có: ΔCAE=ΔHAE(cmt)
nên AC=AH(hai cạnh tương ứng)
hay A nằm trên đường trung trực của CH(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)
Ta có: CE=EH(cmt)
nên E nằm trên đường trung trực của CH(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)
Từ (5) và (6) suy ra AE là đường trung trực của CH(đpcm)
