Question

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA⊥(ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD).

a) Xác định mặt phẳng (α).

b) Mặt phẳng (α) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân với BA =BC =a, SA⊥(ABC) và SA=a.

a) CMR: (SAB)⊥(SBC)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Answer 1

Câu 1:

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp AD\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SCD\right)\)

Qua H kẻ đường thẳng song song CD cắt SC tại K

\(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp\left(SCD\right)\\AH\in\left(ABKH\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(ABKH\right)\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow\left(ABKH\right)\) là mặt phẳng cần tìm

Theo cách dựng ta có \(HK//CD\) , mà \(CD//AB\Rightarrow HK//AB\) (1)

Mặt khác \(AH\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AH\perp HK\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\) thiết diện là hình thang vuông

Answer 2

Câu 2:

Ta có:

\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\)

Mà \(BC\perp AB\) (giả thiết)

\(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Mặt khác \(BC\in\left(SBC\right)\Rightarrow\left(SBC\right)\perp\left(SAB\right)\)

b/ Gọi M là trung điểm AC

\(\Rightarrow BM\perp AC\Rightarrow BM\perp\left(SAC\right)\) \(\Rightarrow BM\perp SC\)

Từ M kẻ \(MH\perp SC\)

\(\Rightarrow SC\perp\left(BMH\right)\)

Mà SC là giao tuyến (SAC) và (SBC)

\(\Rightarrow\widehat{MHB}\) là góc giữa (SAC) và (SBC)

\(AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=a\sqrt{3}\)

\(\Delta SAC\sim\Delta MHC\Rightarrow\frac{MH}{SA}=\frac{MC}{SC}\Rightarrow MH=\frac{SA.MC}{SC}=\frac{SA.AC}{2SC}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)

\(BM=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{MHB}=\frac{BM}{MH}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{MHB}=60^0\)