Question

1. Cho a, b, c là số tự nhiên không nhỏ hơn 1. CMR:\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\le\frac{3}{1+abc}\)

2. Tìm giá trị lớn nhất của M = \(\frac{3x^2+6x+10}{x^2+2x+3}\)

HELP.... MAI MÌNH PHẢI NỘP RỒI

Answer 1

Coi lại đề, giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất vậy >.<

Answer 2

1. Tương đương \(\frac{3}{1+abc}-\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{1+abc}-\frac{1}{1+a^2}\right)+\left(\frac{1}{1+abc}-\frac{1}{1+b^2}\right)+\left(\frac{1}{1+abc}-\frac{1}{1+c^2}\right)\ge0\)

Quy đồng hết lên, kiên trì 1 chút, bạn sẽ thấy điều bất ngờ :V

2. \(M=\frac{3x^2+6x+10}{x^2+2x+3}\)

\(M=\frac{3x^2+6x+9+1}{x^2+2x+3}\)

\(M=\frac{3x^2+6x+9}{x^2+2x+3}+\frac{1}{x^2+2x+3}\)

\(M=3+\frac{1}{x^2+2x+3}\)

\(M=3+\frac{1}{\left(x+1\right)^2+2}\)

Để M có GTLN thì

\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2+2}\) có GTLN

hay có GTNN

Ta có:

Suy ra GTNN của \(\left(x+1\right)^2+2=2\) khi \(x=-1\)

Suy ra: GTLN của \(M=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\) khi \(x=-1\)