Bài này đâu phải bài lớp 12 đâu em?
Lời giải:
Lấy $(1)\times 3+(2)\times 2$ theo vế thu được:
$3x^3+6y^3+4x^3+6x^2=6x^2+3z^2+6y^3+4z^2+14$
$\Leftrightarrow 7x^3=7z^2+14$
$\Leftrightarrow x^3=z^2+2$
Thay vô PT $(3)$ thì:
$z^2+2+x^2+y^2+2xy=2xz+2yz+2$
$\Leftrightarrow z^2+(x+y)^2=2z(x+y)$
$\Leftrightarrow (x+y-z)^2=0$
$\Leftrightarrow x+y=z$
Thay vô 2 PT đầu thì:
\(\left\{\begin{matrix} x^3+2y^3=2x^2+(x+y)^2\\ 2x^3+3x^2=3y^3+2(x+y)^2+7\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^3+4y^3=4x^2+2(x+y)^2\\ 2x^3+3x^2=3y^3+2(x+y)^2+7\end{matrix}\right.\)
Trừ theo vế và thu gọn thì:
$y^3=x^2-1$
Như vậy, ta sẽ đi giải hệ: \(\left\{\begin{matrix} y^3=x^2-1(*)\\ x^3=(x+y)^2+2(**)\end{matrix}\right.\)
Từ $(**)$ suy ra $x>1$. Suy ra $y^3=x^2-1>0$
$\Rightarrow y>0$
Kết hợp $(*);(**)$ ta có:
\((\sqrt{y^3+1})^3=(\sqrt{y^3+1}+y)^2+2\)
\(\Leftrightarrow (y^3+1)\sqrt{y^3+1}=y^3+y^2+3+2y\sqrt{y^3+1}(I)\)
\(\Leftrightarrow (y^3+1)(\sqrt{y^3+1}-3)=2y(\sqrt{y^3+1}-3)-y(y-2)(2y+3)\)
\(\Leftrightarrow (y-2)\left[\frac{(y^3+1)(y^2+2y+4)}{\sqrt{y^3+1}+3}-\frac{2y(y^2+2y+4)}{\sqrt{y^3+1}+3}+y(2y+3)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow (y-2)\left[\frac{(y^3+1-2y)(y^2+2y+4)}{\sqrt{y^3+1}+3}+y(2y+3)\right]=0\)
Ta sẽ cm biểu thức trong ngoặc vuông lớn hơn $0$
Thật vậy:
Từ $(I)\Rightarrow (y^3+1-2y)\sqrt{y^3+1}=y^3+y^2+3>0$
$\Rightarrow y^3+1-2y>0$
$\Rightarrow \frac{(y^3+1-2y)(y^2+2y+4)}{\sqrt{y^3+1}+3}>0$
Kết hợp với $y(2y+3)>0$ với mọi $y>0$
Do đó biểu thức ngoặc vuông luôn dương
$\Rightarrow y=2$
$\Rightarrow x=3; z=5$
