a: \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}=90^0\)
ΔABC vuông tại A
=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>\(\widehat{ACB}=30^0\)
\(\left(\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CB}\right)=\widehat{ACB}=30^0\)
Lấy M sao cho \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}\)
=>AB=BM và B nằm giữa A và M
=>B là trung điểm của AM
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{MBC}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(\widehat{MBC}+60^0=180^0\)
=>\(\widehat{MBC}=120^0\)
\(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{MBC}=120^0\)
b: Vì ΔABC vuông tại A nên \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
Xét ΔABC vuông tại A có \(sinABC=\dfrac{AC}{BC}\)
=>\(\dfrac{4}{BC}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
=>\(BC=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\)
ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AB^2=BC^2-AC^2=\left(\dfrac{8}{\sqrt{3}}\right)^2-4^2=\dfrac{16}{3}\)
=>\(AB=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\)
MB=BA
mà \(AB=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\)
nên \(MB=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\)
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BM}\cdot\overrightarrow{BC}\)
\(=BM\cdot BC\cdot cos\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\cdot cos120=-\dfrac{16}{3}\)
c: \(\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right)\)
\(=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BA}\)
\(=-\dfrac{16}{3}-AB^2=-\dfrac{16}{3}-\left(\dfrac{4}{\sqrt{3}}\right)^2=-\dfrac{32}{3}\)
