Tích của vectơ với một số

TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1. Định nghĩa : 

Cho số \(k\ne0\) và vectơ \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\). Tích của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với số \(k\) là một vectơ, với kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\), cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu k > 0, ngược hướng với 

\(\overrightarrow{a}\)  nếu k < 0 và có độ dài bằng \(\left|k\right|\left|\overrightarrow{a}\right|\)

Ta quy ước \(0\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\),  \(k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

Người ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ

2. Tính chất :

Với  hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\). bất kì, với mọi số h và k, ta có :

\(k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)

 \(\left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}\)

 \(h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}\)

 \(1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\)

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

 a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\)

 b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\)

 Chứng minh:

 a) \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2.\overrightarrow{MI}\) (do \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\))

 b) \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)=3.\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3.\overrightarrow{MG}\) (do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\))

 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương :

 Điều kiện để hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) (\(\overrightarrow{b}\ne0\)) cùng phương là có một số k để \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\)

 5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

 Cho  hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương. Khi đó mọi vectơ \(\overrightarrow{x}\) đều phân tích dược một cách duy nhất theo  hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho \(\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)

Chứng minh:

Lấy vectơ \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{x}\). Lấy O là điểm đầu và vẽ hai vectơ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Từ C kẻ các đường thẳng song song với các đường thẳng OA và OB (xem hình vẽ).

O A A' B a b c C B'

Ta có: \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}\)

Vì \(\overrightarrow{OA'}\) và \(\overrightarrow{OA}\) cùng phương nên tồn tại số h sao cho \(\overrightarrow{OA'}=h.\overrightarrow{OA}\),

     \(\overrightarrow{OB'}\) và \(\overrightarrow{OB}\) cùng phương nên tồn tại số k sao cho \(\overrightarrow{OA'}=k.\overrightarrow{OA}\),

Vậy \(\overrightarrow{OC}=h.\overrightarrow{OA}+k.\overrightarrow{OB}\)

Hay là \(\overrightarrow{x}=h.\overrightarrow{a}+k.\overrightarrow{b}\)

6. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

 Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, ta có thêm một cách mới là chỉ ta tồn tại một số k để 

    \(\overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}\)

Ví dụ:
Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên AB sao cho AK = AB/5. Chứng minh 3 điểm C, I, K thẳng hàng.

 Giải

A B C M G I K

 Ta biểu diễn \(\overrightarrow{CI}\) và \(\overrightarrow{CK}\) theo các vectơ là các cạnh của tam giác ABC như sau:

   \(\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

          \(=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}\)   

         \(=\frac{5}{6}\left(-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}\right)\)                    (1)

  \(\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}\)          (2)

 Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow{CI}=\frac{5}{6}\overrightarrow{CK}\)

 Vậy C, I, K thẳng hàng.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Các dạng toán về Vectơ có hướng dẫn giải

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...