§1. Các định nghĩa

1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng \(AB\). Nếu ta chọn điểm \(A\) làm điểm đầu, \(B\) làm điểm cuối thì đoạn thẳng \(AB\) có hướng từ \(A\) đến \(B\). Khi đó ta nói đoạn thẳng \(AB\) là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa:

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu \(A\), điểm cuối \(B\) được kí hiệu là \(\overrightarrow{AB}\) và đọc là "vectơ \(AB\)".

Để vẽ vectơ \(\overrightarrow{AB}\) ta vẽ đoạn thẳng \(AB\) và đánh dấu mũi tên ở đầu mút \(B\).

Ví dụ:

Vectơ còn được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\), ... khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

Ví dụ:

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Định nghĩa:

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Ví dụ: Trong hình trên ta thấy:

        +) Hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai vectơ cùng phương vì giá của chúng trùng nhau ;

        +) Hai vectơ \(\overrightarrow{PQ}\) và \(\overrightarrow{RS}\) là hai vectơ cùng phương vì giá của chúng song song với nhau.

Ta thấy hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai vectơ cùng phương và có cùng hướng đi từ trái sang phải. Ta nói \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai vectơ cùng hướng.

Ta thấy hai vectơ \(\overrightarrow{PQ}\) và \(\overrightarrow{RS}\) là hai vectơ cùng phương nhưng có hướng đi ngược nhau. Ta nói \(\overrightarrow{PQ}\) và \(\overrightarrow{RS}\) là hai vectơ ngược hướng.

Như vậy, nếu hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt \(A,B,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương.

Thật vậy, nếu hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương thì hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\) song song hoặc trùng nhau. Vì chúng có chung điểm \(A\) nên chúng phải trùng nhau. Vậy 3 điểm \(A,B,C\) thẳng hàng.

Ngược lại, nếu ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng thì hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) có giá trùng nhau nên chúng cùng phương.

3. Hai vectơ bằng nhau

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của \(\overrightarrow{AB}\) được kí hiệu là \(\left|\overrightarrow{AB}\right|\), như vậy \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB\).

Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị.

Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bằng nhau được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\).

Chú ý: Khi cho trước vectơ \(\overrightarrow{a}\) và điểm \(O\) thì ta luôn tìm được một điểm \(A\) duy nhất sao cho \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\).

Ví dụ 1: Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).

Giải:

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{DC}\)  và \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|\)

\(\Rightarrow\) \(AB\) // \(DC\) và \(AB=DC\)

\(\Rightarrow\) \(ABCD\) là hình bình hành

Mặt khác: \(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(AB\) // \(DC\) và \(AB=DC\).

\(AB\) // \(DC\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng phương mà từ hình vẽ ta thấy \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\) cùng hướng;

\(AB=DC\) \(\Rightarrow\) \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|\)

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.

4. Vectơ - không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Với một điểm \(A\) bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đề là \(A\). Vectơ này được kí hiệu là \(\overrightarrow{AA}\) và được gọi là vectơ - không.

Vectơ \(\overrightarrow{AA}\) nằm trên mọi đường thẳng đi qua \(A\), vì vậy ta quy ước vectơ - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. 

Ta cũng quy ước rằng \(\left|\overrightarrow{AA}\right|=0\). Do đó có thể coi mọi vectơ - không đều bằng nhau.

Ta kí hiệu vectơ - không là \(\overrightarrow{0}\). Như vậy \(\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=...\) với mọi điểm \(A,B,...\)

Ví dụ 1: Cho hình vuông \(ABCD\).

    a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là một đỉnh của hình vuông?

    b) Trong các vectơ được nhắc đến trên, có bao nhiêu vectơ-không?

    c) Trong các vectơ được nhắc đến trên, có bao nhiêu cặp vectơ bằng nhau?

Giải:

 a) Các vectơ có điểm đầu là điểm \(A\) và điểm cuối là một đỉnh của hình vuông là: \(\overrightarrow{AA},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\).

Tương tự, các vectơ có điểm đầu lần lượt là điểm \(B,C,D\) và điểm cuối là một đỉnh của hình vuông là: \(\overrightarrow{BB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{CC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\)

Như vậy, có 16 vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là một đỉnh của hình vuông.

b) Các vectơ-không là: \(\overrightarrow{AA},\overrightarrow{BB},\overrightarrow{CC},\overrightarrow{DD}\).

Như vậy có 4 vectơ-không.

c) Các cặp vectơ bằng nhau (cùng hướng và có độ dài bằng nhau) là: 

\(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{DC}\)  ;  \(\overrightarrow{BA}\) và \(\overrightarrow{CD}\)  ;  \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\)  ;  \(\overrightarrow{DA}\) và \(\overrightarrow{CB}\).

Như vậy có 4 cặp vectơ bằng nhau.