Phương trình chứa căn

\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\left(m+2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-6m-7>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>7\\m< -1\end{matrix}\right.\) (1)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)

Để \(x_1< x_2< 1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1>0\\\dfrac{m-1}{2}< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4>0\\m< 3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp với (1) ta được: \(m< -1\)

\(\sqrt{2x^2-8x+m}=x-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-8x+m=\left(x-1\right)^2\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+m-1=0\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(x^2-6x+m-1=0\left(1\right)\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x\ge1\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow m=f\left(x\right)=-x^2+6x+1\)

Đồ thi hàm số \(y=f\left(x\right)=-x^2+6x+1\):

Dựa vào đồ thị ta được \(m=10\)

P/s: Cái này t lười vẽ bảng biến thiên nên vẽ đồ thị đó, chứ bình thường viết trong vở thì dùng bảng biến thiên nhanh hơn nhiều.

\(ĐKXĐ:\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\sqrt{\dfrac{2x+1}{x-1}}=a\ge0\Rightarrow\dfrac{2x+1}{x-1}=a^2\)

Phương trình trở thành :

\(a^2+a-3=0\)

\(\text{Δ}=1^2-4\cdot1\cdot\left(-3\right)=13>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\left(t.m\right)\\x=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{2}\left(loai.vi.a\ge0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{2x+1}{x-1}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow2+\dfrac{3}{x-1}=2+\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow x-1=\dfrac{6}{3-\sqrt{13}}\\ \Leftrightarrow x-1=\dfrac{-9-3\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{-7-3\sqrt{13}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2+2m+1\right)x-\left(7m-5\right)x=m-1\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-5m+6\right)x=m-1\)

Pt vô nghiệm khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-5m+6=0\\m-1\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)\left(x-1\right)^2}+x=\sqrt{2-x}\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(x-1\right)^2\ge0\\2-x\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=2\) không thỏa mãn

- Với \(x=1\) thỏa mãn

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\)

ĐKXĐ: \(x>3\)

\(\Leftrightarrow2x+2\sqrt{x-3}\sqrt{x+3}=\dfrac{4\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}\right)^2=\dfrac{4\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}+\sqrt{x-3}=\dfrac{2\sqrt{x+3}}{x-3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x+3}-\sqrt{x-3}}=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x-3}\)

\(\Leftrightarrow3x-9=x+3-\sqrt{x^2-9}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-9}=12-2x\) (\(x\le6\))

\(\Leftrightarrow x^2-9=144-48x+4x^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2-48x+153=0\)

\(\Leftrightarrow x=8-\sqrt{13}\)

\(\sqrt[3]{2x^2+1}>\sqrt[3]{3x^2-1}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+1>3x^2-1\)

\(\Leftrightarrow x^2< 2\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}< x< \sqrt{2}\)

Đề là \(...-x^3-x-12\) thì pt này không giải được

Phải là \(x^2\)