Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H nằm trong tam giác, đường cao AI, BD, CK Tia AH cắt đường tròn (O) ở E. Chứng minh:

a) BC là tia phân giác góc HBE;

b) H và E đối xứng nhau qua BC;

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc B cắt đường tròn ở M. Đường thẳng kẻ qua M sòn song với AB cắt đường tròn ở N và cắt cạnh BC ở I.

a) So sánh hai góc MCN và BNC;

b) Chứng minh IM=IB và IN=IC.

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm C, D (D thuộc cung AC) sao cho COD = 90⁰ . Các tia AD và BC cắt nhau tại P, AC và BD cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) Tam giác ACP và tam giác BDP vuông cân;

b) PH vuông góc với AB.

Cho tam giác MNP với các góc nhọn và MN<MP. Trên cạnh MP lấy D sao cho MD=MN. Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác NDP. So sánh các cung nhỏ PD, DN và PN

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AKD sao cho BD song song với AC. Nói BK cắt AC ở I.

a) Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC

b) C/m IC² = IK. IB

c) Cho góc BAC = 60⁰. Chứng tỏ cát tuyến AKD đi qua O

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn ( D nằm giữa A và E). Tia phân giác của góc DBE cắt DE tại I. Chứng minh:

a) \(\frac{BD}{BE}=\frac{CD}{CE}\)

b) AI = AB = AC

c) CI là tia phân giác của góc DCE

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B cắt đường tròn (O’) tại C và D ( C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt đường tròn (O) theo thứ tự tại E và F.

a) Chứng minh EF // CD

b) Gọi M là điểm chính giữa cung CD( M và A khác phía đối với CD). Tính số đo góc BAM

Cho đường tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh Mx, My của góc xMy tại A và B. Từ A vẽ tia song song với MB cắt đường tròn (O) tại C. Đoạn MC cắt đường tròn (O) tại E. Hai đường thẳng AE, MB cắt nhau tại K. Chứng minh K là trung điểm của MB.

Giải hệ phương trình

\(\sqrt{2x-1}+\frac{1}{\left|2y-1\right|}=1\)

\(3\sqrt{2x-1}-\frac{2}{\sqrt{x-y}}=-2\)

tìm giá trị nhỏ nhất của Q = \(\frac{\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}+9}\)