-Nếu x=0 thì: y³=2 (vô lí vì y nguyên)

-Nếu x=1 thì: y³=8\(\Leftrightarrow\)y=2( thỏa mãn y nguyên)

-Nếu x=-1 thì: y³=0\(\Leftrightarrow\)y=0( thỏa mãn y nguyên)

-Nếu \(x\ne0;x\ne\pm1\)thì x²>1. Khi đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3< x^3+2x^2+3x+2\\x^3+3x^2+3x+1>x^3+2x^2+3x+2\end{matrix}\right.\)Suy ra:\(x^3\)<y³<(x+1)³( vô lí vì x,y nguyên)

Vậy, các cặp số nguyên (x;y ) cần ìm là: (1;2);(-1;0)

A\(\ge\)0. Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1

Ta có: \(10000\le\overline{abcde}\le99999\Rightarrow22\le\sqrt[3]{\overline{abcde}}\le46\Leftrightarrow22\le\overline{ab}\le46\Rightarrow22000\le\overline{abcde}\le46999\Rightarrow29\le\sqrt[3]{\overline{abcde}}\le36\Rightarrow29\le\overline{ab}\le36\Rightarrow29000\le\overline{abcde}\le36999\Rightarrow31\le\sqrt[3]{\overline{abcde}}\le33\Rightarrow31\le\overline{ab}\le33\Rightarrow31000\le\overline{abcde\le33999\Rightarrow32\le\sqrt[3]{abcde}\le32\Rightarrow\overline{ab}=32\Rightarrow\overline{abcde}=32768}\)

Vậy,....

Vì p là số nguyên tố khác 3 nên \(p\equiv1,2\left(mod3\right)\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\Leftrightarrow2012p^2\equiv2012\left(mod3\right)\)

Do đó: \(A\equiv3n+2014+2012\equiv0\left(mod3\right)\). Mà A>3 mọi n tự nhiên và p nguyên tố.

Vậy A là hợp số

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{3}{2}\).

\(\sqrt{2x-3}+6=2x+\sqrt{x}\Leftrightarrow\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2\left(x-3\right)\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}-2\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}-2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(tmđkxđ\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Vì \(x\ge\dfrac{3}{2}\Rightarrow\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}\ge\sqrt{\dfrac{3}{2}}>\dfrac{1}{2}\)nên (1) vô lí

Vậy pt đã cho có nghiệm là x=3

Phương trình đã cho \(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\sqrt{x^2-2x+3}-2\left(x+1\right)=x^2+1-2\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\dfrac{x^2-2x-1}{\sqrt{x^2-2x+3}+2}=x^2-2x-1\)\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x-1\right)\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2-2x+3}+2}-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x-1=0\\x+1=\sqrt{x^2-2x+3}+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=1-\sqrt{2}\\x=1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\\x^2-2x+1=x^2-2x+3\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy (1) vô lí

Vậy pt đã cho có tập nghiệm là S=\(\left\{1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right\}\)

\(\left(\sqrt{2018}-\sqrt{2017}\right)\left(\sqrt{2018}+\sqrt{2017}\right)=1\)(1)

\(\left(\sqrt{2017}-\sqrt{2016}\right)\left(\sqrt{2017}+\sqrt{2016}\right)=1\)(2)

\(\sqrt{2018}+\sqrt{2017}>\sqrt{2017}+\sqrt{2016}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\sqrt{2018}-\sqrt{2017}< \sqrt{2017}-\sqrt{2016}\)

Phương trình đã cho \(\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2-y^4=3\Leftrightarrow\left(y^2+x+2\right)\left(x-y^2+2\right)=3\).

Đến đây là phương trình tích, giải TH ra, chú ý: \(y^2+x+2\ge x-y^2+2\)(vì y²>0 mọi y)

Với 2 số tự nhiên a;b khác nhau, ta có: \(2\sqrt{ab}< a+b\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{ab}}>\dfrac{2}{a+b}\).( Tự cm)

Đặt biểu thức vế trái là A thì:

\(A=2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1.2005}}+\dfrac{1}{\sqrt{2.2004}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{1002.1004}}\right)+\dfrac{1}{1003}\)

Áp dung bđt vừa cm, ta đc:

\(A>2\left(\dfrac{1}{1003}+\dfrac{1}{1003}+...+\dfrac{1}{1003}\right)+\dfrac{1}{1003}=\dfrac{2005}{2003}\)=> ĐPCM

ĐK: x\(\ge\)0.Pt đã cho \(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x}{4,9}}+\dfrac{x}{330}=4\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{10x}}{7}+\dfrac{x}{330}=4\Leftrightarrow\)\(7x+330\sqrt{10x}=9240\Leftrightarrow7x+330\sqrt{10x}-9240=0\). (1)

Đặt \(\sqrt{x}=a\left(a\ge0\right)\) thì pt (1) trở thành:

\(7a^2+330\sqrt{10}a-9240=0\) là pt bậc 2 ẩn a .

Rồi bạn tính nghiệm ko âm theo delta; sau đó rút ra x