Hướng dẫn 1 cách làm rất máy móc.

Viết phương trình AB khi biết tọa độ điểm A và B

+) B1: A ( 1;2) và B(3;5)

=> \(\overrightarrow{AB}\)= ( 3 - 1; 5 - 2) = ( 2; 3 )

(đây cũng là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB mà để viết phương trình tổng quát chúng ta cần tìm véc tơ pháp tuyến của AB, đổi chỗ của 2 và 3; thêm dấu 1 dấu trừ ở vị trí của 2 hoặc 3)

=> Véc tơ pháp tuyến của AB: \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(3;-2\right)\)

+) B2: Phương trình tổng quát của AB khi có \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(3;-2\right)\) và đi qua điểm A (1; 2) ( hoặc B ( 3; 5 ) dùng cái nào cũng được ) là:

3 ( x - 1 ) + ( - 2 ) ( y - 2 ) = 0

<=> 3x - 2y +1 = 0

Các cạnh còn lại có nhiều cách viết hơn! Nhưng bạn nên tập làm cách của mình trước rồi tìm hiểu cách ngắn gọn khác!

1) = lim n. \(\frac{n^3-3n^2-27n^3}{\sqrt[3]{\left(n^3-3n^2\right)^2}+3n\sqrt[3]{n^3-3n^2}+9n^2}\)

= lim \(\frac{n\left(-26n^3-3n^2\right)}{\sqrt[3]{\left(n^3-3n^2\right)^2}+3n\sqrt[3]{n^3-3n^2}+9n^2}\)

= lim \(\frac{n^2\left(-26-\frac{3}{n}\right)}{\sqrt[3]{\left(1-\frac{3}{n}\right)^2}+3\sqrt[3]{1-\frac{3}{n}}+9}\)

= lim \(\frac{n^2\left(-26\right)}{13}=-\infty\)

2) = lim ( \(\sqrt{4n^2+n}-2n+\sqrt[3]{2n^2-8n^3}+2n\))

= lim ( \(\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}+\frac{2n^2}{\sqrt[3]{\left(2n^2-8n^3\right)^2}-2n\sqrt[3]{2n^2-8n^3}+4n^2}\))

= \(\frac{1}{2+2}+\frac{2}{4+4+4}=\frac{5}{12}\)

a) Để y = f(x) có TXĐ: D = R

điều kiện là: \(-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2\ne0\) với mọi số thực x

<=> \(-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2=0\) vô nghiệm với mọi số thực x

<=> \(\Delta'< 0\)

<=> 4 (m+1 )² - 4m^2 < 0

<=> 2m + 1 < 0

<=> m < -1/2

Vậy : ...

b) Để y = f(x) có TXĐ: D = R

điều kiện là:

\(\frac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}\ge0\) với mọi số thực x (1)

Lại có: \(-4x^2+5x-2< 0\) với mọi số thực x ( Tự chứng minh )

Do đó: (1) <=> \(-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2\le0\) với mọi số thực x

<=> \(\Delta'\le0\)

<=> \(m\le-\frac{1}{2}\)

Vậy: ...

a) lim \(\frac{\left(2n^2-3n+5\right)\left(2n+1\right)}{\left(4-3n\right)\left(2n^2+n+1\right)}\)

= lim \(\frac{\left(2-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}{\left(\frac{4}{n}-3\right)\left(2+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}\)

b)lim ( \(\frac{\sqrt{n^4+1}}{n}-\frac{\sqrt{4n^6+2}}{n^2}\))

= lim ( \(\frac{n\sqrt{n^4+1}-\sqrt{4n^6+2}}{n^2}\) )

= lim \(\frac{\left(n^6+n^2\right)-\left(4n^6+2\right)}{n^2\left(n\sqrt{n^4+1}+\sqrt{4n^2+2}\right)}\)

= lim \(\frac{-3n^6+n^2+2}{n^3\sqrt{n^4+1}+n^2\sqrt{4n^2+2}}\)

= lim \(\frac{-3n\left(1-\frac{1}{n^4}-\frac{2}{n^6}\right)}{\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}+\frac{1}{n^2}\sqrt{4+\frac{2}{n^2}}}\)

= lim \(-3n=-\infty\)

c) lim \(\frac{2n+3}{\sqrt{9n^2+3}-\sqrt[3]{2n^2-8n^3}}\)

= lim\(\frac{2+\frac{3}{n}}{\sqrt{9+\frac{3}{n^2}}-\sqrt[3]{\frac{2}{n}-8}}=\frac{2}{3+2}=\frac{2}{5}\)

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng trên là nghiệm phương trình :

3x = x² + 2 <=> x = 1 hoặc x = 2

Diện tích hình phẳng:

\(S=\int\limits^2_1\left|x^2+2-3x\right|dx\)

\(=\int\limits^2_1\left(3x-x^2-2\right)dx=\frac{1}{6}\)

ĐK: \(x^2-4x-12\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge6\\x\le-2\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{x^2-4x-12}\le x-4\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x-4\ge0\\x^2-4x-12\le x^2-8x+16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge4\\x\le7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow4\le x\le7\)

Đối chiếu đk ta có: \(6\le x\le7\)

Vậy S = [ 6;7]

5) \(mx^2-2\left(m-1\right)x+4m-1=0\) (@@)

TH1: Với m = 0; thay vào (@@) ta có:

\(2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

TH2: Với m \(\ne\) 0 khi đó: (@@) là phương trình bậc 2

có: \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m\left(4m-1\right)=-3m^2-m+1\)

a) (@@) có hai nghiệm phân biệt

TH1: m = 0 loại

TH2: m \(\ne\) 0

(@@) có hai nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta'\)> 0

<=> \(-3m^2-m+1>0\)

<=> \(\frac{-1-\sqrt{13}}{6}< m< \frac{-1+\sqrt{13}}{6}\)

đối chiếu đk m \(\ne\) 0

ta có: m \(\in\) ( \(\frac{-1-\sqrt{13}}{6};\frac{-1+\sqrt{13}}{6}\) ) \ {0}

b) Hai nghiệm trái dấu

TH1: m = 0 loại

TH2: m \(\ne\)0

(@@) có 2 nghiệm trái dấu <=> \(\frac{4m-1}{m}< 0\)

<=> \(0< m< \frac{1}{4}\) thỏa mãn

Vậy \(0< m< \frac{1}{4}\)

c) Hai nghiệm dương

TH1: m = 0 loại

TH2: m \(\ne\) 0

(@@) có hai nghiệm dương

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\P>0\\S>0\end{matrix}\right.\) thay vào tìm m

d) Các nghiệm âm

TH1: m = 0 ( loại )

TH2: m \(\ne\) 0

(@@) có nghiệm âm <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\P>0\\S< 0\end{matrix}\right.\) tìm m

3)

TH1: \(2m^2+m-6=0\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}m=\frac{3}{2}\\m=-2\end{matrix}\right.\)

Với m= \(\frac{3}{2}\) thay vào bpt ta có: -1 > 0 => bpt vô nghiệm

=> x = \(\frac{3}{2}\) thỏa mãn

Với m = -2 thay vào bpt ta có: -7x - 1> 0

=> x < \(-\frac{1}{7}\) => bpt có nghiêm

=> m = - 2 loại

TH2: \(2m^2+m-6\ne0\) => m khác \(\frac{3}{2}\); -2

Bất phương trình: \(\left(2m^2+m-6\right)x^2+\left(2m-3\right)-1>0\) vô nghiệm

<=> \(\left(2m^2+m-6\right)x^2+\left(2m-3\right)-1\le0\) có nghiệm với mọi x\(\in\) R

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}\left(2m^2+m-6\right)< 0\\\Delta=\left(2m-3\right)^2+4\left(2m^2+m-6\right)\le0\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}-2< x< \frac{3}{2}\\12m^2-8m-15\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2< x< \frac{3}{2}\\-\frac{5}{6}\le x\le\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\frac{5}{6}\le x< \frac{3}{2}\)( tm )

Kết hợp 2 TH: ta có: \(-\frac{5}{6}\le x\le\frac{3}{2}\)

\(A=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{2x^2-5x+2}{x^3-3x-2}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\left(2x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)^2\left(x-2\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\left(2x-1\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)

\(B=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^4-3x+2}{x^3+2x-3}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+3\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow1}\frac{x^3+x^2+x-2}{x^2+x+3}=\frac{1}{4}\)