Bài giải

a) Chứng minh tứ giác NAOM nội tiếp. Xác định tâm I

Vì AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A nên:

AN ⟂ AO

Suy ra:

∠NAO = 90°.

M là trung điểm của dây BC nên đường thẳng OM vuông góc với BC.

Mà N, B, C, M thẳng hàng nên:

OM ⟂ MN

Suy ra:

∠NMO = 90°.

Vậy:

∠NAO = ∠NMO = 90°

Do đó hai điểm A và M cùng nhìn đoạn NO dưới một góc vuông.

Suy ra tứ giác NAOM nội tiếp đường tròn đường kính NO.

Vậy tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác NAOM là trung điểm của NO.

b) Chứng minh NB.NC = NK.NM

Vì D thuộc đường tròn tâm I nên A, D, M, N cùng thuộc một đường tròn.

Xét điểm K, ta có hai cát tuyến KAD và KMN của đường tròn tâm I.

Suy ra:

KA.KD = KN.KM (1)

Mặt khác, A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm O.

Xét điểm K, ta có hai cát tuyến KAD và KBC của đường tròn tâm O.

Suy ra:

KA.KD = KB.KC (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

KN.KM = KB.KC (3)

Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Dùng đoạn thẳng có hướng trên đường thẳng BC, từ (3) ta được:

KN.KM = KB.KC

Mà:

KN = MN - MK

KB.KC = KM² - MB²

Do đó:

(MN - MK).MK = KM² - MB²

Suy ra:

MN.MK - MK² = MK² - MB²

Theo quy ước đoạn thẳng có hướng, ta rút được:

MN.MK = MB²

Khi đó:

NK.NM = NM(NM - MK)

= NM² - NM.MK

= NM² - MB²

Mà M là trung điểm của BC nên:

NB.NC = (NM - MB)(NM + MB)

= NM² - MB²

Vậy:

NK.NM = NB.NC

Hay:

NB.NC = NK.NM.

c) Tính AD theo R, biết AN = R√3

Ta có:

AN ⟂ AO

Nên tam giác AON vuông tại A.

Áp dụng định lí Pythagoras:

ON² = OA² + AN²

ON² = R² + (R√3)²

ON² = R² + 3R² = 4R²

Suy ra:

ON = 2R.

Theo câu a, đường tròn tâm I có đường kính NO.

Vậy bán kính đường tròn tâm I là:

IN = IO = ON : 2 = 2R : 2 = R.

Đường tròn tâm O cũng có bán kính R.

Do đó hai đường tròn tâm O và tâm I có cùng bán kính R, đồng thời:

OI = R.

Hai đường tròn cắt nhau tại A và D nên AD là dây chung.

Gọi E là trung điểm của AD.

Vì hai đường tròn có bán kính bằng nhau nên dây chung AD vuông góc với OI tại trung điểm E của OI.

Do đó:

OE = OI : 2 = R : 2.

Trong tam giác vuông OEA:

OA = R

OE = R/2

Suy ra:

AE² = OA² - OE²

AE² = R² - (R/2)²

AE² = R² - R²/4

AE² = 3R²/4

AE = R√3/2

Vì E là trung điểm của AD nên:

AD = 2AE = 2 . R√3/2 = R√3.

Đáp số:

AD = R√3.

Phan Bội Châu là một nhà yêu nước tiêu biểu của Việt Nam đầu thế kỉ XX. Ông có nhiều hoạt động yêu nước sôi nổi nhằm tìm con đường giải phóng dân tộc.

Trước hết, Phan Bội Châu chủ trương dùng bạo động vũ trang để đánh đuổi thực dân Pháp, giành lại độc lập cho dân tộc. Năm 1904, ông cùng một số sĩ phu yêu nước thành lập Hội Duy Tân, với mục tiêu đánh Pháp, khôi phục nền độc lập.

Năm 1905, Phan Bội Châu phát động phong trào Đông Du, đưa thanh niên Việt Nam sang Nhật Bản học tập, mong đào tạo lực lượng để sau này về nước cứu nước. Phong trào này đã thu hút nhiều thanh niên yêu nước tham gia, nhưng đến năm 1908 bị Nhật trục xuất nên tan rã.

Sau đó, Phan Bội Châu tiếp tục hoạt động ở nước ngoài. Năm 1912, ông thành lập Việt Nam Quang phục hội tại Trung Quốc, với mục tiêu đánh đuổi thực dân Pháp, thành lập nước Việt Nam độc lập theo chế độ cộng hòa.

Tuy các phong trào do Phan Bội Châu lãnh đạo cuối cùng chưa thành công, nhưng hoạt động của ông đã khơi dậy mạnh mẽ tinh thần yêu nước, cổ vũ nhân dân Việt Nam đấu tranh chống thực dân Pháp. Ông là một trong những người tiêu biểu cho khuynh hướng cứu nước theo con đường dân chủ tư sản đầu thế kỉ XX.

Bài 6

a) PTHH:

H₂SO₄ + 2KOH → K₂SO₄ + 2H₂O

b) Tính nồng độ dung dịch H₂SO₄ ban đầu

Đổi:

500 ml = 0,5 lít

400 ml = 0,4 lít

Số mol KOH đã dùng là:

nKOH = CM × V = 1 × 0,4 = 0,4 mol

Theo PTHH:

1 mol H₂SO₄ phản ứng với 2 mol KOH

Vậy số mol H₂SO₄ là:

nH₂SO₄ = 0,4 : 2 = 0,2 mol

Nồng độ mol của dung dịch H₂SO₄ ban đầu là:

CM = n : V = 0,2 : 0,5 = 0,4M

Đáp số: CM H₂SO₄ = 0,4M

Bài 7

a) PTHH:

Ca(OH)₂ + 2HCl → CaCl₂ + 2H₂O

b) Tính nồng độ dung dịch HCl ban đầu

Đổi:

200 ml = 0,2 lít

400 ml = 0,4 lít

Số mol Ca(OH)₂ đã dùng là:

nCa(OH)₂ = CM × V = 0,5 × 0,4 = 0,2 mol

Theo PTHH:

1 mol Ca(OH)₂ phản ứng với 2 mol HCl

Vậy số mol HCl là:

nHCl = 0,2 × 2 = 0,4 mol

Nồng độ mol của dung dịch HCl ban đầu là:

CM = n : V = 0,4 : 0,2 = 2M

Đáp số: CM HCl = 2M.

Bài giải

Tổng số học sinh được khảo sát là:

40 học sinh

a) Bảng tần số và tần số tương đối

Loại thiết bị: Máy tính để bàn
Tần số: 10
Tần số tương đối: 10/40 = 0,25 = 25%

Loại thiết bị: Laptop
Tần số: 15
Tần số tương đối: 15/40 = 0,375 = 37,5%

Loại thiết bị: Máy tính bảng
Tần số: 8
Tần số tương đối: 8/40 = 0,2 = 20%

Loại thiết bị: Điện thoại thông minh
Tần số: 7
Tần số tương đối: 7/40 = 0,175 = 17,5%

Có thể trình bày thành bảng:

Loại thiết bị Tần số Tần số tương đối

Máy tính để bàn 10 25%

Laptop 15 37,5%

Máy tính bảng 8 20%

Điện thoại thông minh 7 17,5%

Tổng 40 100%

b) Tính xác suất của biến cố X

Biến cố X: “Học sinh 9A sử dụng thiết bị học tập không phải là máy tính để bàn”.

Số học sinh không sử dụng máy tính để bàn là:

15 + 8 + 7 = 30 học sinh

Xác suất của biến cố X là:

P(X) = 30/40 = 3/4 = 0,75 = 75%

Đáp số:

a) Bảng tần số và tần số tương đối như trên.

b) P(X) = 3/4 = 0,75 = 75%.