Cho \(x^2-2x+2m\sqrt{\left(x+4\right)\left(2-x\right)}=2m+11\)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm

b, Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left[0;2\right]\)

a, \(x^2-x-2m-1=0\)

b, \(x^2-2\left(m-1\right)x+4=0\)

1. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC theo thứ tự lấy các điểm \(A_1;B_1;C_1\) sao cho \(\frac{A_1B}{A_1C}=\frac{B_1C}{B_1A}=\frac{C_1A}{C_1B}=k>0\). Trên các cạnh \(B_1C_1;C_1A_1;A_1B_1\) của tam giác \(A_1B_1C_1\) theo thứ tự lấy các điểm \(A_2;B_2;C_2\) sao cho \(\frac{A_2B_1}{A_2C_1}=\frac{B_2C_1}{B_2A_1}=\frac{C_2A_1}{C_2B_1}=\frac{1}{k}\).

Chứng minh rằng: Các tam giác \(ABC\) và \(A_2B_2C_2\) có các cạnh tương ứng song song

2. Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M. Đường thẳng \(\Delta\) cắt các đoạn AB, AC, AM lần lượt tại \(B',C',M'\).

Chứng minh: \(BC.\frac{AM}{AM'}=MC.\frac{AB}{AB'}+MB.\frac{AC}{AC'}\)

Cho \(0< a,b,c< 1\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le\frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}\).

1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm

a, \(2\left(x^2-2x\right)-\sqrt{x^2-2x+4}-m=0\) trên \(\left[-1;2\right]\)

b, \(\sqrt{\left(x+2\right)\left(7-x\right)}+x^2-5x-m=0\)

2. Tìm Min \(y=|x^2+2x-m|\) trên \(\left[0;2\right]\)

3. Tìm Max \(y=|x^2-4x+2m-1|\) trên \(\left[-1;3\right]\)

4. Tìm m để \(x^2-2x-m\le0,\forall x\in\left[-1;3\right]\)

5. Tìm m để tồn tại \(x\) thỏa mãn \(3\sqrt{4x-x^2}+m>4x-x^2\)

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

a, \(|x^2-2x-3|=m\)

b, \(x^2-5|x|+m=0\)

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị

a, \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x,x\ge0\\x,x< 0\end{matrix}\right.\)

b, \(y=-x^2-4|x|+5\)

c, \(y=|x^2+2x-3|\)

Cho \(\Delta ABC\) và \(\Delta A_1B_1C_1\)

CMR: Nếu \(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{0}\) thì hai tam giác có cùng trọng tâm

Cho \(a_1;a_2;...;a_n\) thỏa mãn \(a_1+a_2+...+a_n=a\ne0\) và \(A_1;A_2;...;A_n\).

Chứng minh tồn tại duy nhất điểm \(G\) thỏa mãn \(\sum\limits^n_{i=1}a_i.\overrightarrow{GA_i}=\overrightarrow{0}\)