Bảo toàn động lượng cho hệ theo phương ngang:

\(mv_0=\left(m+m'\right)v\Leftrightarrow v=\dfrac{mv_0}{m+m'}=\dfrac{3}{4}v_0=3\left(m\cdot s^{-1}\right)\)

Gọi \(x\) là vận tốc riêng của ca-nô.

Vận tốc của ca-nô khi đi xuôi dòng là \(x+5\), khi đi ngược dòng là \(x-5\).

Thời gian ca-nô đi xuôi dòng là \(\dfrac{100}{x+5}\), ngược dòng là \(\dfrac{50}{x-5}\). Suy ra tổng thời gian đi của ca-nô là \(\dfrac{100}{x+5}+\dfrac{50}{x-5}\).

Thời gian đi của bè nứa là \(\dfrac{50}{5}=10\left(h\right)\).

Thời gian đi của ca-nô và bè là như nhau nên ta có phương trình: \(\dfrac{100}{x+5}+\dfrac{50}{x-5}=10\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-15\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(L\right)\\x=15\left(N\right)\end{matrix}\right.\).

Vậy: Vận tốc riêng của ca-nô là \(15\left(km\cdot h^{-1}\right)\)

Bài III.

Một sợi dây nhẹ không dãn luồn qua một chiếc nhẫn nhỏ, một đầu buộc vào một chiếc nhẫn nhỏ khác, đầu kia của dây buộc vào đỉnh một thanh thằng dài. Hai chiếc nhẫn giống hết nhau, khối lượng \(m\), đều được luồn qua hai thanh thẳng dài song song nhau. Hai thanh được gắn vào một đế rất nặng (để đế luôn đứng yên), có khoảng cách là \(d\). Đặt đế sao cho hai thanh đều nằm trong mặt phẳng ngang. Ban đầu, dây căng và tạo một góc \(\theta< 60^o\) so với phương của thanh. Tại thời điểm bất kì, truyền tức thời cho một chiếc nhẫn vận tốc \(\overrightarrow{v_1}\) dọc theo thanh. Cho gia tốc trọng trường là \(g\). Xác định:

1. Độ lớn vận tốc \(v_2\) của nhẫn còn lại theo \(v_1,\theta\).

2. Độ lớn lực căng dây \(T\) theo \(m,v_1,\theta\).

Gọi \(P\) là trọng lượng của vật.

        [Phần đọc thêm] Khi treo vật vào lò xo treo thẳng đứng, độ biến dạng (độ dãn/nén) của lò xo tỉ lệ với trọng lượng của vật theo một hệ số tỉ lệ là \(k\) (sau này lên lớp 10, em sẽ biết rõ hơn về hệ số này, người ta gọi nó là độ cứng của lò xo), tức là: \(P=kx\), với \(x\) là độ biến dạng của lò xo.

Khi treo vật \(A\) vào đầu lò xo, ta có: \(P_A=kx_A\left(1\right)\).

Khi thay thành vật \(B\), ta sẽ có: \(P_B=kx_B\left(2\right)\).

Mà theo đề bài, khối lượng vật \(B\) bằng 1/2 khối lượng vật \(A\), suy ra: \(P_B=\dfrac{1}{2}P_A\left(3\right)\).

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), suy ra được: \(x_B=\dfrac{1}{2}x_A=\dfrac{1}{2}\cdot0,5=0,25\left(cm\right)\).

Chiều dài của lò xo lúc này là: \(l=l_0+x_B=20+0,25=20,25\left(cm\right)\)

Định lí biến thiên động năng: \(A_C=\Delta W_đ\)

\(\Leftrightarrow-F_Cs=\dfrac{1}{2}mv_2^2-\dfrac{1}{2}mv_1^2\)

\(\Rightarrow F_C=\dfrac{m\left(v_1^2-v_2^2\right)}{2s}=\dfrac{0,01\left(320^2-96^2\right)}{2\cdot0,06}\approx7765,3\left(N\right)\)

Va chạm là mềm nên bảo toàn động lượng theo phương ngang cho hệ hai bi:

\(m_1v_1=\left(m_1+m_2\right)v\Rightarrow v=\dfrac{m_1v_1}{m_1+m_2}=\dfrac{1\cdot1,5}{1+2}=0,5\left(ms^{-1}\right)\).

Vậy: \(v=0,5\left(ms^{-1}\right)\)

\(V=1,5\left(l\right)=1,5\cdot10^{-3}\left(m^3\right)\)

Khối lượng của nước: \(m=DV=1000\cdot1,5\cdot10^{-3}=1,5\left(kg\right)\).

Nhiệt lượng cần truyền:

\(Q=mc\left(t-t_0\right)=1,5\cdot4180\left(100-25\right)=470250\left(J\right)\)

Tóm tắt

\(V=2\left(l\right)=2\cdot10^{-3}\left(m^3\right)\).

\(t_0=30\left(^oC\right)\).

\(t=100\left(^oC\right)\).

\(c=4180\left(J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}\right)\)

\(D=1000\left(kg\cdot m^{-3}\right)\)

Giải

Khối lượng của nước: \(m=DV=2\cdot10^{-3}\cdot1000=2\left(kg\right)\).

Nhiệt lượng cần truyền:

\(Q=mc\left(t-t_0\right)=2\cdot4180\cdot\left(100-30\right)=585200\left(J\right)\).

Vậy: \(Q=585200\left(J\right)\)

\(\dfrac{15}{x}=-\dfrac{3}{4}\Rightarrow15\cdot4=-3\cdot x\)

\(\Leftrightarrow60=-3x\Leftrightarrow x=\dfrac{60}{-3}=-20\).

Vậy: \(x=-20.\)

(a) \(P\left(x\right)=2x^3-2x+x^2+3x+2\)

\(=2x^3+x^2+\left(3x-2x\right)+2\)

\(=2x^3+x^2+x+2.\)

\(Q\left(x\right)=4x^3-3x^2-3x+4x-3x^3+4x^2+1\)

\(=\left(4x^3-3x^3\right)+\left(4x^2-3x^2\right)+\left(4x-3x\right)+1\)

\(=x^3+x^2+x+1\)

(b) Thay \(x=-1\) vào \(P\left(x\right)\), ta được:

\(P\left(-1\right)=2\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2+\left(-1\right)+2=0\)

Vậy: \(x=-1\) là một nghiệm của \(P\left(x\right)\)