cach 2: A={xeN/ x<5}

Bài 2:

Chứng minh bất đẳng thức Mincopxki \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\text{ }\left(1\right)\)

(bình phương vài lần + biến đổi tương đương)

\(S\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\frac{9}{a+b+c}\right)^2}\)

\(t=\left(a+b+c\right)^2\le\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)

\(S\ge\sqrt{t+\frac{81}{t}}=\sqrt{t+\frac{81}{16t}+\frac{1215}{16t}}\ge\sqrt{2\sqrt{t.\frac{81}{16t}}+\frac{1215}{16.\frac{9}{4}}}=\frac{\sqrt{153}}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}.\)