Rút gọn và tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên:

\(A=\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{8\sqrt{x}}{x-1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-x-3}{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\)

Rút gọn và tìm GTLN của biểu thức:

\(A=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\)

Rút gọn: \(F=\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}\)

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(A=\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(49-20\sqrt{6}\right)\sqrt{5-2\sqrt{6}}}{9\sqrt{3}-11\sqrt{2}}\)

b) \(A=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)

c) \(A=\left(\sqrt{3}-1\right)\sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}}\)

Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(A=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)

b) \(A=\sqrt[3]{8-\sqrt{60}}+\sqrt[3]{8+\sqrt{60}}\)

c) \(A=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)

Cho x, y, z > 0 và xy + yz + zx = a.

Chứng minh: \(x\sqrt{\frac{\left(a+y^2\right)\left(a+z^2\right)}{a+x^2}}+y\sqrt{\frac{\left(a+z^2\right)\left(a+x^2\right)}{a+y^2}}+z\sqrt{\frac{\left(a+x^2\right)\left(a+y^2\right)}{a+z^2}}=2a\)

Cho \(a=\sqrt{3+\sqrt{5+2\sqrt{3}}}+\sqrt{3-\sqrt{5+2\sqrt{3}}}\).

Chứng minh: \(a^2-2a-2=0\)