Rút gọn: \(A=\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{\left(k+1\right)^2}}\)

Rút gọn: \(A=\frac{4.1}{4.1^4+1}+\frac{4.2}{4.2^4+1}+\frac{4.3}{4.3^4+1}+...+\frac{4.k}{4.k^4+1}\)

Cho biểu thức \(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+9}{x-9}\), với \(x\ge0\), \(x\ne9\)

a) Rút gọn biểu thức A. Tìm x để A = \(\frac{1}{3}\)

b) Tìm GTLN của biểu thức A

Cho \(A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3}{x\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-\sqrt{x}+1}\) với x \(\ge\) 0. Rút gọn A. Tìm GTNN và GTLN của A

Cho biểu thức: \(P=\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}\)

1. Rút gọn biểu thức P. Tính giá trị của P với x = \(14-6\sqrt{5}\)

2. Tìm giá trị nguyên của x để P đạt giá trị nguyên

3. Tìm GTNN của P

Cho biểu thức: \(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}-\frac{2}{x-1}\)

1. Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị biểu thức A khi x = 9

2. Khi x thỏa mãn ĐKXĐ hãy tìm GTNN của biểu thức B, với B = A(x-1)

Cho biểu thức: \(P=1+\left(\frac{2a+\sqrt{a}-1}{1-a}-\frac{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}{1-a\sqrt{a}}\right).\frac{a-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}-1}\)

a) Rút gọn P

b) Cho \(P=\frac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{6}}\). Tìm giá trị của a. Chứng minh rằng P > \(\frac{2}{3}\)

Cho biểu thức: \(P=\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right).\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]:\frac{\sqrt{x^3}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y^3}}{\sqrt{x^3y}+\sqrt{xy^3}}\)

Rút gọn P. Cho \(x.y=16\). Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất

Cho biểu thức: \(P=\left(\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}}{y-x}\right):\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

a) Rút gọn P

b) Chứng minh P \(\ge\) 0