Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho 2 bộ số (2x,y) và (2,1) ta có:

\(\left(4x^2+y^2\right)\left(2^2+1\right)=\left(\left(2x\right)^2+y^2\right)\left(2^2+1\right)\)

\(\ge\left(\left(2x\cdot2\right)+y\cdot1\right)^2=\left(4x+1\right)^2=1^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+y^2\right)\cdot5\ge1\)

\(\Leftrightarrow4x^2+y^2\ge\dfrac{1}{5}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)

Vậy \(4x^2+y^2\ge\dfrac{1}{5}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}12x+12y=1\\4x+14y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\dfrac{1}{12}\\x+\dfrac{7}{2}y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{5}{2}y=\dfrac{1}{6}\\x+y=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{15}\\x+y=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{60}\\y=\dfrac{1}{15}\end{matrix}\right.\)

Trích mỗi lọ một ít làm mẫu thử

- Cho quỳ tím tác dụng lần lượt với mẫu thử

+ Mẫu làm quỳ tím chuyển sang màu đỏ là \(HCl,H_2SO_4\) (1)

+ Mẫu không làm quỳ tím đổi màu là \(Na_2SO_4,NaCl\) (2)

- Cho các mẫu ở nhóm (1), (2) tác dụng với \(AgNO_3\)

+ Mẫu có kết tủa màu trắng là \(HCl\) (nhóm 1)

\(HCl+AgNO_3\rightarrow AgCl\downarrow+HNO3\)

+ Mẫu không có phản ứng là \(H_2SO_4\)(nhóm 1)

+ Mẫu có kết tủa trắng ở nhóm (2) là \(NaCl\)

\(NaCl+AgNO_3\rightarrow NaNO_3+AgCl\downarrow\)

+ Mẫu không có hiện tượng là \(Na_2SO_4\)

\(A=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2014}}{\dfrac{2013}{1}+\dfrac{2012}{2}+...+\dfrac{1}{2013}}\) 

\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2014}}{\left(\dfrac{2012}{2}+1\right)+\left(\dfrac{2011}{3}+1\right)+...+\left(\dfrac{1}{2013}+1\right)+\dfrac{2014}{2014}}\) 

\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2014}}{2014\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{.3}+...+\dfrac{1}{2014}\right)}\) 

\(=\dfrac{1}{2014}\)

Ý là đề vầy chứ gì:

\(5^x.5^{x+1}.5^{x+2}=10^{18}:2^{18}\)

⇔\(5^{3x+3}=5^{18}\)

⇔\(3x+3=18\)

⇔\(x=5\)

Vậy x=5

\(x+y+z=0\)

⇔\(-x=y+z\)

⇔\(x^2=\left(y+z\right)^2\) 

⇔\(x^2=y^2+2yz+z^2\) 

⇔\(y^2+z^2-x^2=-2yz\)

Tương tự:

\(z^2+x^2-y^2=-2zx\)

\(x^2+y^2-z^2=-2xy\)

➞ S = \(\dfrac{1}{-2xy}+\dfrac{1}{-2yz}+\dfrac{1}{-2zx}=\dfrac{x+y+z}{-2xyz}=0\) 

Vậy S = 0

\(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{56}+\dfrac{1}{72}+\dfrac{1}{90}\)

\(=\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{9.10}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{10}\)

\(=\dfrac{2}{5}\)

ĐKXĐ:x≠0

\(8\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+4\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2\) \(-4\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(x+4\right)^2\)

⇔\(8\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+4\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2-4\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2-8\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)= \left(x+4\right)^2\)

⇔\(8\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-8\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)=\left(x+4\right)^2\) 

⇔\(\left(x+4\right)^2=16=4^2=\left(-4\right)^2\) 

⇔\(\left[{}\begin{matrix}x=0\left(KTM\right)\\x=-8\left(TM\right)\end{matrix}\right.\) 

Vậy \(S=\left\{-8\right\}\)

(1) S + O₂ → SO₂ (Kèm nhiệt độ)

(2) SO₂ + O₂ → SO3 (Kèm nhiệt độ cao từ 400-500 độ C, xúc tác với Pt, V₂O₅, Fe₂O₃)

(3) SO₃ + H₂O → H₂SO₄

(4) H₂SO₄ + Fe → FeSO₄ + H₂↑

(5) 2H₂ + O₂ → 2H₂O (kèm nhiệt độ)

Trước hết ta cần phải chứng minh BĐT Svac-xơ

\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\) ≥ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) (1)

Thật vậy, bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có:

\(\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\)≥ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

⇔(a²y+b²x)(x+y) ≥ (a+b)²(x+y)

⇔(ay-bx)²≥0 luôn đúng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx hay \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)

Áp dụng BĐT (1) ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)

⇔\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(x+y\right)\)≥4

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y