a) Ta có: |x| = x khi x ≥ 0

|x| = -x khi x < 0

TH1: x + x = 0 (ĐK: x ≥ 0)

<=> 2x = 0

<=> x = 0 (nhận) (1)

TH2: x + (-x) = 0 (ĐK: x < 0)

<=> 0x = 0

=> Phương trình nghiệm đúng với mọi x < 0 (2)

Từ (1) và (2) => đpcm.

b) mx - 3 = 2m - x - 1

<=> (mx - 2m) +(x - 2) = 0

<=> m(x - 2) + (x - 2) = 0

<=> (x - 2) (m + 1) = 0

=> Phương trình luôn có nghiệm là x = 2 cho dù m là bất kì giá trị nào

A = 2x² - 20x + 53

= \([\left(x\sqrt{2}\right)^2-2.x\sqrt{2}.5\sqrt{2}+\left(5\sqrt{2}\right)^{2^{ }}]+3\)

= \(\left(x\sqrt{2}-5\sqrt{2}\right)^{2^{ }}+3\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x\sqrt{2}-5\sqrt{2}=0\) <=> \(x\sqrt{2}=5\sqrt{2}\) <=> x=5

Vậy MinA = 3 khi x = 5

B = 2x² + 3x + 1

= \([\left(x\sqrt{2}\right)^{2^{ }}+2.x\sqrt{2}.\dfrac{3\sqrt{2}}{4}+\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\right)^{2^{ }}]-\dfrac{1}{8}\)

= \(\left(x\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8}\ge-\dfrac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x\sqrt{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{4}=0\) <=> \(x\sqrt{2}=\dfrac{-3\sqrt{2}}{4}\) <=> x = \(\dfrac{-3}{4}\)

Vậy MinB = \(\dfrac{-1}{8}\) khi x = \(\dfrac{-3}{4}\)

n(n² - 2)² - n³

=n⁵ - 4n³ + 4n - n³

=n(n⁴ - 5n² + 4)

=n[(n⁴ - 4n²) - (n² - 4)]

=n[n²(n-2)(n+2) - (n-2)(n+2)]

=n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)

Do n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chắc chắn sẽ có 1 thừa số chia hết cho 5 và ít nhất 2 thừa số chi hết cho 2. Từ đó => [n(n² - 2) - n³] ⋮ 10 với mọi n nguyên.

{Có thể giải thích đơn giản hơn là tích của 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 120. Từ đó cũng suy ra nó chia hết cho 10}.

y = \(\dfrac{\left(x-8\right)^2-48}{x+5}\)

<=> y = \(\dfrac{x^2-16x+16}{x+5}\)

<=> y = \(\dfrac{x\left(x+5\right)-21\left(x+5\right)+121}{x+5}\)

<=> y = x - 21 + \(\dfrac{121}{x+5}\)

y đạt giá trị nguyên <=> 121 chia hết cho (x + 5) <=> (x + 5) là ước của 121 <=> x + 5 ∈ \(\left\{1;-1;11;-11;121;-121\right\}\)

<=> x + 5 = 1 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=96\end{matrix}\right.\left(loai\right)\)

x + 5 = -1 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=-6\\y=-148\end{matrix}\right.\) (loai)

x + 5 = 11 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=6\\y=-4\end{matrix}\right.\) (loai)

x + 5 = -11 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=-16\\y=-48\end{matrix}\right.\) (loai)

x + 5 = 121 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=116\\y=96\end{matrix}\right.\) (nhan)

x + 5 = -121 <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=-126\\y=-148\end{matrix}\right.\) (loai)

Vay (x;y) = (116;96)

6

a)\(\dfrac{201-x}{99}+\dfrac{203-x}{97}=\dfrac{205-x}{95}+3=0\)

<=>\(\left(\dfrac{201-x}{99}+1\right)+\left(\dfrac{203-x}{97}+1\right)+\left(\dfrac{205-x}{95}+1\right)=0\)

<=>\(\dfrac{201-x+99}{99}+\dfrac{203-x+97}{97}=\dfrac{205-x+95}{95}=0\)

<=> \(\dfrac{300-x}{99}+\dfrac{300-x}{97}=\dfrac{300-x}{95}=0\)

<=> \(\left(300-x\right)\left(\dfrac{1}{99}+\dfrac{1}{97}+\dfrac{1}{95}\right)=0\)

<=> 300 - x = 0

<=> x = 300

b) \(\dfrac{2-x}{2002}-1=\dfrac{1-x}{2003}-\dfrac{x}{2004}\)

<=> \(\dfrac{2-x}{2002}+1=\left(\dfrac{1-x}{2003}+1\right)+\left(\dfrac{x}{2004}+1\right)\){Cộng cả hai vế của phương trình với 2}

<=> \(\dfrac{2-x+2002}{2002}=\dfrac{1-x+2003}{2003}+\dfrac{-x+2004}{2004}\)

<=> \(\dfrac{2004-x}{2002}=\dfrac{2004-x}{2003}+\dfrac{2004-x}{2004}\)

<=> \(\dfrac{2004-x}{2002}-\dfrac{2004-x}{2003}-\dfrac{2004-x}{2004}=0\)

<=> \(\left(2004-x\right)\left(\dfrac{1}{2002}-\dfrac{1}{2003}-\dfrac{1}{2004}\right)=0\)

<=> 2004 - x = 0

<=> x = 2004.

Gọi x(km/h) là vận tốc cano khi nước lặng (x>0).

Vận tốc cano khi xuôi dòng là: x + 4 (km/h).

Vận tốc cano khi ngược dòng là: x - 4 (km/h).

Thời gian cano xuôi dòng là: 80/(x + 4) (h).

Thời gian cano ngược dòng là: 80/(x - 4) (h).

Thời gian cả khi xuôi dòng và ngược dòng là: 8h20 = 25/3 (h)

Theo đề bài, ta có phương trình:

80/(x+4) + 80/(x-4) = 25/3

=> 80.3.(x - 4) + 80 . 3. (x + 4) = 25.(x - 4)(x + 4)

<=> 240(x - 4) + 240(x + 4) = 25(x² - 16)

<=> 240x - 960 + 240x + 960 = 25x² - 400

<=> 25x² - 480x - 400 = 0

<=> 5x² - 96x - 80 = 0

<=> (5x² - 100x) + (4x - 80) = 0

<=> 5x(x - 20) + 4(x - 20) = 0

<=> (x - 20)(5x + 4) = 0

<=> x = 20 (nhận) hoặc x = -4/5 (loại)

Vậy: Vận tốc cano khi nước lặng là 20km/h.

Xét tứ giác BMNC có: MN // BC

=> Tứ giác BMNC là hình thang

có góc B = góc C (Tam giác ABC cân vì AB = AC = 8cm)

=> Tứ giác BMNC là hình thang cân.

=> BM = NC

MN = NC (=BM)

<=> Tam giác MNC cân tại N

<=> Góc NMC = góc NCM

mà góc NMC = MCB (vì MN // BC)

<=> Góc NCM = góc MCB

Hay CM là phân giác góc C

<=> CM là trung tuyến Tam giác ABC (vì ABC cân; đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến)

<=> M là trung điểm AB.

=> BM = AB/2 = 4(cm).

<=> cả 6 số chia hết 5.