Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng vuông góc AI cắt AB, AC tại M, N.

a) Cm : \(\frac{BM}{CN}+\frac{BI^2}{CI^2}\)

b) Cm: \(\text{BM.AC +CN.AB + AI^2 =AB.AC }\)

Giải phương trình: \(\sqrt{x^4+x^3-3x-9}+\sqrt{x^4+2x^3-6x-9}+\sqrt{x^2-3}=0\)

Cho tam giác ABC, phân giác BN, gọi O là tâm đường tròn nội tiếp. Từ A kẻ 1 tia vuông góc với BN cắt BC tại H. Chứng minh rằng A, O, H, C nằm trên 1 đường tròn.

Rút gọn : Sử dụng công thức \(\sqrt{A^2}=\left|A\right|\)

a) \(\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}\)

b) \(\sqrt{8}.\sqrt{3-\sqrt{5}}\)

c) \(\sqrt{15-6\sqrt{6}}-\sqrt{33-12\sqrt{6}}\)

d) \(\sqrt{6-2\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt{12}+\sqrt{18-\sqrt{128}}}}\)

Cho ΔABC có 3 góc nhọn. Vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm, G là trọng tâm của ΔABC.

a) CM: \(tgB.tgC=\frac{AD}{HD}\)

b) CM: HG // BC

c) \(tgB.tgC=3\)

Cho ΔABC có 3 góc nhọn, ba đường cao AD, BE, CF.

a) CM: \(AF.BD.CE=AB.BC.CA.\cos A.\cos B.\cos C\)

b) Giả sử: \(\widehat{BAC}=60^o\), \(S_{ABC}=144\). Tính \(S_{AEF}\)

c) CM: \(S_{DEF}=\left[1-cos^2A-cos^2B-cos^2C\right].S_{ABC}\)