a) Để \(AC\perp BD\) thì \(\Rightarrow\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)=0\\ \Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}=0\\ \Rightarrow-h^2+0+0+ab=0\\ \Rightarrow h^2=ab\)

b) Để \(AI\perp BI\) thì \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{BI}=0\Rightarrow\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}\right)\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}\right)=0\\ \Rightarrow\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)=0\\ \\ \Rightarrow\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\\ \Rightarrow-h^2+a^2+ab+ab+b^2=0\\ \Rightarrow a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2=h^2\\ \Rightarrow a+b=h\)

TH1: Số cần lập có dạng \(520\overline{ab}\)

Chọn a;b có \(A^2_4\) cách

TH2 : Số cần lập có dạng : \(50\overline{abc}\)

Chọn a;b;c có \(A^3_5\) cách

TH3: Số cần lập có dạng : \(\overline{abcde}\left(a\ne5\right)\)

Chọn a: 2 cách 

Chọn b;c;d;e có \(A^4_6\) cách

Vậy lập được tất cả \(A^2_4+A^3_5+2A^4_6=792\) số

Cường độ dòng diện trong mạch : \(I=\dfrac{\zeta}{R+r}=\dfrac{10}{R+r}\)

Công suất mạch ngoài : \(P=I^2R=\dfrac{100R}{\left(R+r\right)^2}\)

\(R=R_1;R_2\Rightarrow P=\dfrac{100R_1}{\left(R_1+r\right)^2}=\dfrac{100R_2}{\left(R_2+r\right)^2}=4\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{R_1}\left(R_2+r\right)=\sqrt{R_2}\left(R_1+r\right)\left(1\right)\\\left(R_1+r\right)^2=25R_1\left(2\right)\end{matrix}\right.\\ \left(1\right)\Rightarrow\sqrt{R_1R_2}\left(\sqrt{R_2}-\sqrt{R_1}\right)=\left(\sqrt{R_2}-\sqrt{R_1}\right)r\\ \Rightarrow\sqrt{R_1R_2}=r=\sqrt{R_1\left(13-R_1\right)}\\ \left(2\right)\Rightarrow\left(R_1+\sqrt{R_1\left(13-R_1\right)}\right)^2=25R_1\\ \Rightarrow R_1^2+2R_1\sqrt{R_1\left(13-R_1\right)}+13R_1-R_1^2=25R_1\\ \Rightarrow2R_1\sqrt{R_1\left(13-R_1\right)}=12R_1\\ \Rightarrow R_1\left(13-R_1\right)=36\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}R_1=9\Rightarrow R_2=4\\R_1=4\Rightarrow R_2=9\end{matrix}\right.\)

Vậy R₁ ; R₂ bằng \(9\left(\Omega\right);4\left(\Omega\right)\)

Câu 3

\(\text{Đ}k:u_1;u_2;...;u_{20}\ne0\\ \left\{{}\begin{matrix}u_1+u_2+u_3=3\\u_3^2-u_2^2=3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3u_2=3\\u_3^2-u_2^2=3\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_2=1\\u_3^2=4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}u_2=1\\u_3=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}u_2=1\\u_3=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}u_1=0\\d=1\end{matrix}\right.\left(L\right)\\\left\{{}\begin{matrix}u_1=4\\d=-3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=4\\d=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{u_1u_2}+\dfrac{1}{u_2u_3}+...+\dfrac{1}{u_{19}u_{20}}\\ =\dfrac{1}{4\cdot1}+\dfrac{1}{1\left(-2\right)}+...+\dfrac{1}{\left(-50\right)\left(-53\right)}\\ =\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{4\cdot1}+\dfrac{3}{1\left(-2\right)}+...+\dfrac{3}{\left(-50\right)\left(-53\right)}\right)\\ =\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{-53}\right)=\dfrac{19}{212}\)

Câu 4

\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_3+u_5=-3\\u_2+u_4+u_6=3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3u_1+6\text{d}=-3\\3u_1+9d=3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=-5\\d=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S=u_1+u_4+...+u_{88}=\dfrac{30}{2}\left(u_1+u_{88}\right)=15\left(2u_1+87\text{d}\right)=2460\)

Câu 2: Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)

\(pt:x^4-10\text{x}^2+9m=0\left(1\right)\\ \Leftrightarrow t^2-10t^2+9m=0\left(2\right)\)

Để pt(1) có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng thì (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(-5\right)^2-9m>0\\S=10>0\left(T/m\right)\\P=9m>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{9}\\\\m>0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow0< m< \dfrac{25}{9}\)

(2) có 2 nghiệm \(t_1< t_2\)

=> (1) có 4 nghiệm \(-\sqrt{t_2}< -\sqrt{t_1}< \sqrt{t_1}< \sqrt{t_2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{t_1}=\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}\\ \Rightarrow4t_1=t_2\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=10\\4t_1=t_2\\t_1t_2=9m\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1=2\\t_2=8\\m=\dfrac{16}{9}\left(t/m\right)\end{matrix}\right.\)

Câu 2: Đặt \(t=x^2\left(t\ge0\right)\)

\(pt:x^4-10\text{x}^2+9m=0\left(1\right)\\ \Leftrightarrow t^2-10t^2+9m=0\left(2\right)\)

Để pt(1) có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng thì (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=\left(-5\right)^2-9m>0\\S=10>0\left(T/m\right)\\P=9m>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{9}\\\\m>0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow0< m< \dfrac{25}{9}\)

(2) có 2 nghiệm \(t_1< t_2\)

=> (1) có 4 nghiệm \(-\sqrt{t_2}< -\sqrt{t_1}< \sqrt{t_1}< \sqrt{t_2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{t_1}=\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}\\ \Rightarrow4t_1=t_2\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=10\\4t_1=t_2\\t_1t_2=9m\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t_1=2\\t_2=8\\m=\dfrac{16}{9}\left(t/m\right)\end{matrix}\right.\)

Câu 1: Gọi 3 số là a;b;c

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=6\\2b=a+c\\a^2+b^2+c^2=30\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\a+c=4\\a^2+c^2=26\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c=4-a\\a^2+\left(4-a\right)^2=26\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2\\c=5\\a=-1\end{matrix}\right.\left(\text{V\text{ì} }a< c\right)\)

Các chữ số được đặt trong các ô trống.  

TH1: Số cần lập có chữ số 0:

Đưa 0 vào 3 cách

Đưa 1 vào 3 cách

Đưa 3 vào 2 cách

Lấy 1 số bất kì  ô còn lại : 7 cách

=> TH1 có 126 số

TH2: Số cần lập không có chữ số 0:

Đưa 1 vào 4 cách

Đưa 3 vào 3 cách

Lấy 2 số bất kì đưa vào 2  ô còn lại : \(A^2_7\) cách

=> TH2 có 504 số

Vậy lập được tất cả 504 + 126 = 630 số

Gọi n là số quả cầu lấy ra. \(\left(n\in N^{\text{*}};1\le n\le9\right)\)

Không gian mẫu \(\left|\Omega\right|=C^n_9\)

Biến cố A : " Có ít nhất 1 số chia hết cho 4"

=> Biến cố \(\overline{A}\) : " Không có số nào chia hết cho 4"

\(\Rightarrow\left|\Omega_{\overline{A}}\right|=C^n_7\\ \Rightarrow P_{\overline{A}}=\dfrac{C^n_7}{C^n_9}=\dfrac{\left(9-n\right)\left(8-n\right)}{8\cdot9}=1-P_A< \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow n^2-17n+72< 12\\ \Rightarrow5< n< 12\)

Vậy cần phải lấy ít nhất 6 quả để XS có ít nhất 1 số chia hết cho 4 > 5/6