Giải

ABED là hình thang

S_ABED = \(\frac{1}{2}\)(48 + 24) . 24 = 864

AFED là hình thang. Gọi AF = x

S_AFED = \(\frac{1}{2}\)(x + 24) . 24

= 12x + 288

Mặt khác S_AFED = \(\frac{11}{24}\)S_ABED = \(\frac{864.11}{24}=396\)

Ta có 12x + 288 = 396 => x = 9

Chọn F trên cạnh AB sao cho AF = 9

Ta có công thức cho bài toán : [n x ( n-1)] /2

Vậy có tất cả: (100 x99 ) : 2=4950 đường thẳng 

Giải

a)

Qua O kẻ đường song song với AB cắt hai cạnh đối tại E và F, ta có:

S_DOC = \(\frac{1}{2}\)DC . OK

S_DOE = \(\frac{1}{2}\)OE . OK

S_COF = \(\frac{1}{2}\)OF . OK

=> S_COF + S_DOE = \(\frac{1}{2}\)OK . (OE + OF)= \(\frac{1}{2}\)OK . EF

mà CD = EF

=> S_DOC = S_COF + S_DOE

Tương tự S_AOB = S_AOE + S_BOF

Do đó S_DOC + S_AOB = S_COF + S_DOE + S_AOE + S_BOF

Vậy S_DOC + S_AOB = S_AOD + S_BOC

b)

Ta có S_ADC = S_BDC (chung đáy CD ; đường cao bằng nhau)

mà S_ADC = S_AOD + S_DOC

S_BDC = S_BOC + S_DOC

=> S_AOD = S_BOC

Giải

Giả sử \(\Delta\)ABC cân tại A, M là một điểm bất kì trên BC

Kẻ MH \(\perp\) AB, MK \(\perp\) AC, CI \(\perp\) AB

Ta có S_ABM = \(\frac{1}{2}\)AB . MH

S_ACM = \(\frac{1}{2}\)AC . MK

S_ABC = \(\frac{1}{2}\)AB . CI

Mà S_ABC = S_ABM + S_ACM

Nên \(\frac{1}{2}\)AB . CI = \(\frac{1}{2}\)AB . MH + \(\frac{1}{2}\)AC . MK

Vì AB = AC (gt) và chia hai vế cho \(\frac{1}{2}\)AB ta được:

MH + MK = CI

CI là đường cao thuộc cạnh bên AB trong \(\Delta\)ABC cân nên CI không đổi

Vậy MH + MK không đổi

Giải

Ta có: MC // AD (do BC // AD)

=> Khoảng cách từ M đến AD bằng khoảng cách từ C đến AD

=> Độ dài đường cao \(\Delta\)AMD ứng với cạnh AD bằng độ dài đường cao \(\Delta\)ACD ứng với cạnh AD

=> S_AMD = S_ACD

Chứng minh tương tự ta được:

S_CDN = S_CDA

=> S_AMD = S_CDN

Gọi h₁, h₂ là khoảng cách từ D đến AM và CN

=> S_AMD = \(\frac{1}{2}\) . h₁ . AM ; S_DCN = \(\frac{1}{2}\) . h₁ . CN

Mà AM = CN (gt)

Do đó h₁ = h₂ hay D cách đều AM và CN

Giải

Gọi diện tích \(\Delta\)ABC là S

Ta có: S = \(\frac{1}{2}\)AH . BC

Hay AH = \(\frac{2S}{BC}\)

Vì S là số không đổi, BC cố định nên độ dài BC không đổi

Suy ra AH không đổi

Do đó theo tính chất đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước ta được đỉnh A di chuyển trên hai đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng AH = \(\frac{2S}{BC}\)

Giải

a) Ta có: AP = PB (gt) ; QA = QC (gt)

=> PQ là đường trung bình của \(\Delta\)ABC

=> PQ // BC

Lại có BE // CF (cùng vuông góc với PQ)

Nên tứ giác BCFE là hình bình hành

Lại có góc BEF = 90⁰

Nên BCFE là hình chữ nhật

b) Từ A kẻ AI \(\perp\) PQ

Xét \(\Delta\)AIP và \(\Delta\)BEP có:

góc PAI = góc PBE (so le trong do AI // BE)

PA = PB (P là trung điểm của AB)

góc API = góc BPE (đối đỉnh)

=> \(\Delta\)AIP = \(\Delta\)BEP (g.c.g)

=> S_AIP = S_BEP

Chưng minh tương tự ta có: \(\Delta\)AIQ = \(\Delta\)CFQ (g.c.g)

=> S_AIQ = S_CFQ

Hình chữ nhật BEFC được chia thành tứ giác BPQC và các tam giác BQP, CFQ không có điểm trong chung, vậy:

S_BEFC = S_BEP + S_BPQC + S_CFQ

= S_AIP + S_BPQC + S_AIQ

= S_ABC

Vậy S_BEFC = S_ABC

3x - 11 = 18

=> 3x = 18 + 11

=> 3x = 29

=> 3x = 29 : 3

=> 3x = 29/3

Giải

Kẻ EF \(\perp\) CD (F \(\in\) CD), dễ thấy các tứ giác BCFE và AEFD cũng là các hình chữ nhật (vì ABCD là hình chữ nhật)

\(\Rightarrow\) BC = EF = AD ; AE = DF ; EB = CF

\(\left\{\begin{matrix}\Delta ADE=\Delta FED\left(c.c.c\right)\\\Delta BEC=\Delta FCE\left(c.c.c\right)\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}S_{ADE}=S_{FED}\\S_{BEC}=S_{FCE}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}S_{AEFD}=2S_{FED}\\S_{BECF}=2S_{FCE}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) S_AEFD + S_BCFE = 2(S_FED + S_FCE) = 2S_EDC

Do hai hình chữ nhật AEFD và BCFE không có điểm trong chung nên: S_AEFD + S_BCFE = S_ABCD

Vậy S_ABCD = S_EDC

Giải

Ta có: AB < AF + FB

BC < BG + GC

CD < CH + HD

DE < ID + IE

EA < JA + JE

=> AB + BC + CD + DE + EA < (AF + CG) + (FB + EJ) + (BG + DH)
+ (CH + EI) + (ID + AJ) < AC + BE + BD + CE + AD đpcm